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Definition
Eine rationale Funktion r mit n verschiedenen Polstellen der Ordnung mj läßt sich in der Form
r
(
z
)
=
p
(
z
)
+
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
m
j
a
j
,
k
(
z
−
z
j
)
k
{\displaystyle r(z)=p(z)+\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{m_{j}}{\frac {a_{j,k}}{(z-z_{j})^{k}}}}
schreiben, wobei der Grad des Polynoms p der
Differenz von Zähler - und Nennergrad von r entspricht.
Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung .
Verwendung
Die Partialbruchzerlegung wird z.B. verwendet, um rationale Funktionen integrieren zu können.
Berechnung
Diese Zerlegung kann folgendermaßen bestimmt werden:
Mit Polynomdivision erhält man p .
Faktorisierung des Nenners liefert die Polstellen und deren Ordnung.
Die Konstanten a j,k ergeben sich durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.
Beispiel
x
2
(
x
−
1
)
2
=
1
+
−
2
x
−
1
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{(x-1)^{2}}}=1+{\frac {-2\;x-1}{(x-1)^{2}}}}
−
2
x
−
1
(
x
−
1
)
2
=
A
x
−
1
+
B
(
x
−
1
)
2
|
⋅
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {-2\;x-1}{(x-1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}\quad |\cdot (x-1)^{2}}
−
2
x
−
1
=
A
(
x
−
1
)
+
B
{\displaystyle -2\;x-1=A(x-1)+B}
A
=
−
2
{\displaystyle A=-2}
B
=
−
3
{\displaystyle B=-3}
x
2
(
x
−
1
)
2
=
1
+
−
2
x
−
1
+
−
3
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{(x-1)^{2}}}=1+{\frac {-2}{x-1}}+{\frac {-3}{(x-1)^{2}}}}
