Endlich erzeugte abelsche Gruppe

Eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist eine abelsche Gruppe (G,+), in der es endlich viele Elemente $x_{1},\ldots ,x_{s}$ gibt, sodass jedes $x\in G$ in der Form

$x=n_{1}\cdot x_{1}+n_{2}\cdot x_{2}+\ldots +n_{s}\cdot x_{s}$

geschrieben werden kann, wobei $n_{1},\ldots ,n_{s}$ ganze Zahlen sind und $n_{i}\cdot x_{i}$ die $n_{i}$-fache Verknüpfung von $x_{i}$ mit sich selbst unter $+$ ist. Wir sagen auch $\left\{x_{1},\ldots ,x_{s}\right\}$ sind die Erzeuger von G oder $x_{1},\ldots ,x_{s}$ erzeugen G.

Offensichtlich ist jede endliche abelsche Gruppe endlich erzeugt. Endlich erzeugte abelsche Gruppen sind von eher simpler Natur und können auf einfache Weise klassifiziert werden, wie weiter unten gezeigt wird.

Beispiele

• Alle endliche Gruppen sind endlich erzeugt.
• Die ganzen Zahlen (Z,+) sind eine endlich erzeugte Gruppe mit 1 als Erzeuger.
• Jede direkte Summe von endlich vielen endlich erzeugten abelschen Gruppen ist wieder eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Die additive Gruppe der rationalen Zahlen (Q,+) ist nicht endlich erzeugt: Zu $x_{1},\ldots ,x_{s}$ wähle man eine natürliche Zahl w, die teilerfremd zu den Nennern aller $x_{i}$ ist; 1/w wird dann nicht erzeugt von $x_{1},\ldots ,x_{s}$.

Klassifikation

Jede Untergruppe und Faktorgruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist wieder endlich erzeugt abelsch. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen zusammen mit den Gruppenmorphismen bilden eine abelsche Kategorie.

Man beachte, dass nicht jede abelsche Gruppe von endlichem Rang endlich erzeugt ist. Q zum Beispiel ist von Rang 1 aber nicht endlich erzeugt. Ein weiteres Beispiel ist die direkte Summe von unendlich vielen Kopien von Z₂, diese ist von Rang 0, aber auch nicht endlich erzeugt.

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G isomorph zu einer direkten Summe von unendlichen zyklischen Gruppen und zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist, ist.