Eulersche Zahl

Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl e=2,718281828459... ist die Basis des so genannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine große Rolle. Die e-Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=e^x = e^x (gesprochen e hoch x) bleibt nämlich beim Differenzieren und Integrieren unverändert.

Die Zahl e kann unter anderem durch eine Grenzwertbildung definiert werden. Zwei bekannte Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$
$e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dots$

wobei man letztere Formel durch die Fakultätsschreibweise mit dem "!"-Zeichen im allgemeinen noch zu

e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}

abkürzt. Da e eine transzendente Zahl ist, ist der entstehende Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.

Es gilt:

(e^x)' = e^x (Die Ableitung (von f(x)=e^x) ist gleich f(x))

e^i·π = -1 (Dabei ist i die imaginäre Einheit und π die Kreiszahl pi), dies ist die Eulersche Identität

Programmbeispiele zur Berechnung von e

Die mathematische Reihe kann man sehr einfach in ein Pseudocode-programm umsetzen, um Näherungswerte für e zu ermitteln:

E = 1 : F = 1

For K = 1 to 10
  F = F*K
  E = E + 1/F
  Print E
Next K

Am Anfang hat man E und F gleich 1 gesetzt. F ist die Fakultätsvariable, die nach dem gewünschten Ausdruck zu F = K! anwächst. Mit wachsendem Schleifendurchlauf nähert sich der Wert von E immer mehr an den wahren Wert von e an.

Eine weitere Variante in der Programmiersprache C++:

unsigned long f = 1;
double e = 1;
for (int k = 0; k < 10; k++) {
  f *= k;
  e += 1 / double(f);
}

Anschauliche Interpretation

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen K_n = K₀ * (1+p)ⁿ, wobei K₀ das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K₀ = 1 EUR, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K₁ = 1*(1+1)¹ EUR = 2,00 EUR. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K₂ = 1*(1+0,5)² EUR = 2,25 EUR, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir K₃₆₅= 1*(1+1/365)³⁶⁵ = 2,714567... EUR. Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.

Weblinks

ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (englisch)

Um 1975 entdeckte der Schweizer Felix A. Keller folgende Formel, die zu e konvergiert ("Keller's Expression" [St. Finch [mathsoft]):

e=\lim _{n\to \infty }\quad {\rm {}}{\frac {n^{n}}{(n-1)^{(n-1)}}}-{\frac {(n-1)^{(n-1)}}{(n-2)^{(n-2)}}}\quad {\rm {for}}\quad \left|n\right|>2.

(Diese Formel wurde zum ersten Mal 1998 auf Steven Finch's Website www.mathsoft.com/asolve/constant/e/e.html. veröffentlicht. Er kommentierte dazu: “Eine sehr hübsche Formel! Es macht Spaß, solche Dinge zu generalisieren. Ich habe solche Limiten noch nie gesehen.” Er verwandte zum ersten Mal den Ausdruck “Keller's Expression".)