Benutzer:DasUntier/Spielwiese

Das Toy Modell ist ein vielteilchen Modell, zur vereinfachten Beschreibung eines 2 Niveau Systems. Das Modell ist rein Theoretisch, da es keine realen Zwei-niveau-systeme gibt, diese können aber teilweise angenähert werden (Beispielsweise wenn 2 Energieniveaus gut Isoliert liegen). Mit dem Toy Modell lassen sich viele Ergebnisse der Statistischen Physik durch einfache Rechnung zeigen.

Modellbeschreibung

Das Toy Modell geht von n-Teilchen mit je 2 möglichen Energieniveaus aus. Um die beschreibung zu vereinfachen, legen wir unseren Energienullpunkt auf das untere Energieniveau. Dann ist das obere Energieniveau auf einer Energie E₀. Das heisst nun jedes unserer Teilchen kann entweder die Energie 0 oder E₀ haben.

Energie des Systems

Der Hamiltonoperator eines solchen Systems ist leicht aufzustellen.

{\hat {H}}=\sum _{k=1}^{n}{E_{0}*{\hat {n}}_{k}}

wobei ${\hat {n}}_{k}$ ein Operator ist, welcher angibt ob das k-te Teilchen im angeregten Zustand ist oder nicht.

Berechnung der Zustandssummen

Die Zustandssumme erhält man durch einsetzen des Hamiltonoperators.

$Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {\hat {H}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).$

$Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {\sum _{k=1}^{n}{E_{0}*{\hat {n}}_{k}}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).$

Die Summe kann aus der Exponentialfunktion gezogen werden, und wird zum Produkt.

$Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {Sp} (\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}*{\hat {n}}_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).$

Nun ersetzen wir die Spur durch eine Summe über n_k, und den Operator ${\hat {n}}_{k}$ durch seinen Eigenwert n_k.

$Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}*n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).$

Analog erhält man für die Grosskanonische Zustandssumme :

$Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).$

Benötigt wird dazu der Teilchenzahloperator ${\hat {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\hat {n}}_{k}$ , dieser wird für n in die allgemeine Formel für die Grosskanonische Zustandssumme $Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {(} Sp)(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {H}}-\mu {\hat {n}}}{k_{\mathrm {B} }T}}})$ eingesetzt.

Bosonen

Die so erhaltene Grosskanonische Zustandssumme formen wir nun noch um. Das beschriebene system Enthält n-Teilchen auf in nur 2 Energieniveaus, also sind immer mehr als 1 Teilchen in jedem zustand, somit handelt es sich um ein Bosonisches System. Die Summe über n_k kann also von Null bis Unendlich laufen. Für jeden Summanden sieht man aber, das immer gleiche Energieterme Multipliziert werden. Daher kann man die E-Funktion auch anders schreiben :

$Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}})^{n_{k}}.$

Diese Form erkennen wir nun als die Geometrische Reihe. Daraus folgt :

$Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}.$ (Bosonische Zustandssumme)

Fermionen

Um die Fermionische Zustandssumme zu bekommen benötigen wir einen Trick. Das System wird nur Fermionisch wenn sich in jedem Zustand Maximal ein Teilchen befindet. Dazu betrachten wir unser System einfach für k = 1, also für nur ein einziges Teilchen. Dadurch fällt unser Produkt erstmal weg, und die Summe über n_k enthält nur noch 2 Möglichkeiten, entweder unser Teilchen ist angeregt oder eben nicht. Daher kann n_k nur noch 0 oder 1 sein.

Unsere Zustandssumme wird dann zu :

$Z_{g}(\mu ,V,T)=\sum _{n_{k}=0}^{1}(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}).$

Einsetzen von n_k liefert :

$Z_{g}(\mu ,V,T)=1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}}).$

Dabei wurde benutzt das $\mathrm {e} ^{0}=1$ ist.

Dies gibt uns nun die Zustandssumme für ein Teilchen. Wir verlassen an der stelle etwas unser Toy-Modell und sagen nun, wir wollten ursprünglich ein Vielteilchen Problem bereiben, das n-Teilchen hat. Dies erzielen wir nun, in dem wir ein System aus n-Toy-Modellen mit je 1 Teilchen betrachten, somit haben wir ein Fermionisches System. Wir Multiplizieren unser Ergebnis also wieder n-mal um die Zustandssumme des Gesamtsystems zu erhalten.

$Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}(1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}})).$ (Fermionische Zustandssumme)

Verteilungen

Zunächst berechnen wir nun das Thermodynamische Potential Ω(T,V,μ) über $\Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({Z_{g}})$ .

Bosonen

$\Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {E}}_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}})$

Siehe auch

Literatur

Schwabl: Statistische Mechanik. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN-10: 3540310959