Potenzfunktion

Graphen einiger Potenzfunktionen

Die Potenzfunktion ist eine elementare mathematische Funktion der Form

$f:\,x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R}$

Meist, insbesondere wenn man nur natürliche oder ganzzahlige Exponenten zulässt, schreibt man aber beim Exponenten eher n statt r:

$f:\,x\mapsto ax^{n}.$

Spezialfälle

• konstante Funktion: $f:\,x\mapsto a$ (für r = 0)
• (homogene) lineare Funktion/Proportionalität: $f:\,x\mapsto ax$ (für r = 1)
• Quadratfunktion und Vielfache davon: $f:\,x\mapsto ax^{2}$ (für r = 2)
• Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten $r$ werden die ganzrationalen Funktionen zusammengesetzt, aus denen mit ganzzahligem Exponenten die rationalen Funktionen.
• Für $r=1/n$ mit $n\in \mathbb {N}$ ergeben sich Wurzelfunktionen.

Definitions- und Wertemenge

Die maximal mögliche Definitionsmenge hängt vom Exponenten ab. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulässt, dann kann sie mit der nächsten Tabelle angegeben werden:

	r > 0	r < 0
$r\in \mathbb {Z}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$
$r\notin \mathbb {Z}$	$\mathbb {R} _{0}^{+}$	$\mathbb {R} ^{+}$

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt, dann kann man, falls der Nenner der gekürzten Bruchdarstellung des gegebenen rationalen Exponenten $r$ ungerade ist, den Definitionsbereich der Funktion $x^{r}$ auf negative $x$ erweitern (→ Siehe Potenz): Sei $r=n/m$ mit $n\in \mathbb {Z}$, $m\in \mathbb {N}$, $m$ dabei ungerade, und seien $m$ und $n$ teilerfremd, dann gilt:

$x^{r}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}$ ${\qquad }$ (oder, was äquivalent ist, ${\quad }$ $x^{r}=({\sqrt[{m}]{x}})^{n}$).

Ist $m=1$, dann bekommen wir Potenzen mit ganzen Exponenten. Für $n>0$ ist die Definitionsmenge dieser Funktion gleich $\mathbb {R}$, für $n<0$ ist sie gleich $\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch das Vorzeichen von a beachten. Für $r\in \mathbb {Q}$ mit der gekürzten Bruchdarstellung $r=n/m$ kommt es außerdem auch noch darauf an, ob eine der Zahlen $m$ oder $n$ gerade ist (d.h. das Produkt $mn$ gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d.h. das Produkt $mn$ ungerade ist).

	n > 0, $mn$ gerade	n > 0, $mn$ ungerade	n < 0, $mn$ gerade	n < 0, $mn$ ungerade
a > 0	$\mathbb {R} _{0}^{+}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} ^{+}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$
a < 0	$\mathbb {R} _{0}^{-}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} ^{-}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$

Für $r\notin \mathbb {Q}$ gibt es dagegen weniger unterschiedliche Fälle:

	r > 0	r < 0
a > 0	$\mathbb {R} _{0}^{+}$	$\mathbb {R} ^{+}$
a < 0	$\mathbb {R} _{0}^{-}$	$\mathbb {R} ^{-}$

Graphen

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen $n$ heißen Parabeln $n$-ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen $n$ Hyperbeln $n$-ter Ordnung. Der Parameter a drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der y-Achse um den Faktor |a| und außerdem Symmetrie an der $x$-Achse aus, falls $a<0$ ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge $\mathbb {R} \setminus \{0\}$, dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

Symmetrie

Ist die Potenzfunktion $x^{r}$ auch für $x<0$ definiert (was nur für rationale $r=n/m$ mit einem ungeraden $m$ möglich ist), dann ist sie gerade für gerade $n$ und ungerade für ungerade $n$. Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten für x → ±∞ und x → 0

Alle Potenzfunktionen $x^{r}$ mit positiven Exponenten haben eine Nullstelle bei $x=0$, steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion $e^{x}$) und gehen gegen $+\infty$ für $x\to +\infty$.

Alle Potenzfunktionen $x^{r}$ mit negativen Exponenten gehen gegen $+\infty$ für $x\to 0\;(x>0)$. Sie fallen und gehen gegen $0$ für $x\to +\infty$.

Ist eine Funktion $x^{r}$ auch für $x<0$ definiert, dann ist sie immer gerade oder ungerade, und ihr Verhalten für $x\to 0\;(x<0)$ und für $x\to -\infty$ ist von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

Ableitung und unbestimmtes Integral

Jede Potenzfunktion ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörige Ableitungsfunktion ist (siehe Potenzregel)

$f\,':\,ax^{r}\mapsto arx^{r-1}.$

Diese Formel gilt für alle $x\neq 0$ und alle $r$, wenn $x^{r}$ nur an der Stelle $x$ definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle $x=0$, wenn $r>1$ ist. Für $0<r<1$ ist die Funktion $a\,x^{r}$ stetig aber nicht differenzierbar an der Stelle $x=0$.

Zum Beispiel ist $(x{\sqrt[{3}]{x^{2}}})'=(x^{5/3})\,'=5/3\quad {x^{2/3}}=5/3\quad {\sqrt[{3}]{x^{2}}}$ gültig auf der ganzen Zahlengerade.

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl $r$ mit einem ungeraden Nenner ist die Formel

$\int x^{r}\;dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C$

für alle Intervalle der Zahlengeraden gültig. Für beliebige negative rationale $r$ mit ungeraden Nennern, außer $r=-1$, ist diese Formel für alle Intervalle gültig, die ganz links oder ganz rechts von Null liegen. Wenn $r$ eine rationale Zahl mit geradem Nenner oder eine irrationale Zahl ist, dann gilt diese Formel für alle Intervalle der positiven Halbachse.

Zum Beispiel gilt für ein beliebiges Intervall der Zahlengeraden:

$\int x{\sqrt[{3}]{x^{2}}}\;dx=\int x^{5/3}\;dx=3/8~x^{8/3}+C=3/8~x^{2}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}+C$.

Anwendungen

Potenzfunktionen haben vielfältige Anwendungen in Wirtschaft, Natur und Technik:

• Proportionalitäten (r = 1) tauchen in vielen Zusammenhängen auf:
  • Kosten und Warenmenge (ohne Mengenrabatt)
  • Umrechnung zwischen Währungen
  • Kreisumfang und Radius
  • Masse und Volumen (bei konstanter Dichte)
  • vergangene Zeit und zurück gelegte Wegstrecke (bei konstanter Geschwindigkeit)
  • gefahrene Wegstrecke und verbrauchte Kraftstoffmenge (bei konstantem Verbrauch)
  • Kraft und Beschleunigung (bei konstanter Masse)
  • Dehnung eines Körpers und angreifende Kraft (in gewissen Grenzen, siehe Hookesches Gesetz)
• Praktisch genauso häufig kommen reziproke Proportionalitäten (r = -1) vor (auch indirekte oder Anti-Proportionalität genannt):
  • Arbeiterzahl und Arbeitszeit
  • benötigte Zeit für eine Wegstrecke und (konstanter) Geschwindigkeit
  • benötigte Kraft und Länge eines Hebels (Hebelgesetz)
  • Masse und benötigte Kraft für gegebene Beschleunigung
• Viele Größen in Geometrie und Physik hängen quadratisch voneinander ab (r = 2):
  • Flächeninhalt eines Quadrats und seine Seitenlänge
  • Flächeninhalt eines Kreises und sein Radius
  • Spannenergie und Dehnung eines Körpers
  • Bewegungsenergie und Geschwindigkeit
  • zurückgelegte Wegstrecke und Zeit bei gleichmäßiger Beschleunigung
  • elektrische Leistung und Widerstand
  • Luftwiderstandskraft und Geschwindigkeit bei turbulenter Strömung
• Die dritte Potenz (r = 3) tritt beispielsweise in der Geometrie häufig auf:
  • Radius und Volumen einer Kugel
  • Seitenlänge und Volumen eines Würfels
• Einige physikalische Größen hängen in der vierten Potenz miteinander zusammen (r = 4):
  • Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers und seine absolute Temperatur (Stefan-Boltzmann-Gesetz)
  • Streuquerschnitt für Lichtstreuung und Lichtfrequenz (die u. a. für die blaue Farbe des Himmels verantwortliche Rayleigh-Streuung)
  • Volumenstrom durch ein dünnes Rohr und Rohrradius (Gesetz von Hagen-Poiseuille)
• Auch nicht-ganzzahlige Potenzen kommen in vielen Zusammenhängen vor:
  • Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und absoluter Temperatur bei adiabatischen Zustandsänderungen (siehe auch Adiabatenexponent)
  • Zusammenhang zwischen großer Halbachse $a$ und Umlaufzeit $T$ von Planeten bzw. Monden (3. Kepler-Gesetz)
  • Skalengesetze, beispielsweise bei Phasenübergängen, aber auch in der Biologie
  • In der Geometrie gilt für den Zusammenhang zwischen Oberflächeninhalt und Rauminhalt eines Würfels: $V=(O/6)^{2/3}$; eine ähnliche Formel ergibt sich bei einer Kugel.
  • Bei einem Universum, das mit einer homogenen Substanz erfüllt ist, die eine Zustandsgleichung der Form $p=w\rho$ erfüllt, ergibt sich für die Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors aus den Friedmann-Gleichungen: $a(t)\sim t^{2/3(1+w)}$.

Literatur

• Karl-Heinz Pfeffer: Analysis für Fachoberschulen. Vieweg+teubner 2005, ISBN 9783528540067, S. 104 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
• Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke: Mathematik für Ingenieure, Vieweg+Teubner 2006, ISBN 9783835100732, S.104 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)

Weblinks

• Potenzfunktionen (pdf)
• Potenzfunktionen (pdf) - ZUM-Materialen zur Potenzfunktion
• Power function auf PlanetMath (engl.)
• Alle Fälle von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten im farbigen, grafischen Vergleich
• Alle Fälle von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten in Form von interaktiven Java-Applets