Benutzer:Elbstein/Spielwiese

Allgemeine Relativitätstheorie

Mit der Schwarzschild-Metrik und Schul-Mathematik können einige Berechnungen aus der ART gerechnet werden. Dazu wird der Begriff Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit eingeführt.

Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit

Die Lichtgeschwindigkeit eines Radarstrahls in der Nähe einer Masse (z.B. beim Experiment Shapiro-Verzögerung in der Nähe der Sonne), die ein ferner, feldfreier Beobachter mißt, ist niedriger als die allgemeingültige Lichtgeschwindigkeit. Um keine Mißverständnisse aufkommen zu lassen, wird diese Geschwindigkeit eines solchen Signals oft Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit genannt.

Siehe Buch von Max Born "Relativitätstheorie" bearbeitet und ergänzt von Jürgen Ehlers und Markus Pössel Auflage 5 Seite ...

Mit der Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit kann man im Euklidischen Raum rechnen, ohne die mathematisch aufwendigen Raumzeitkrümmungen der allgemeinen Relativitätstheorie mit Differentialgeometrie auszuführen. Das heißt, mit Schulmathematik kann die Ablenkung von Lichtstrahlen an der Sonne und die Shapiro-Verzögerung von Radarstrahlen berechnet werden.

Die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit ist richtungsabhängig wie die Koordinaten-Länge. Quer zur Gravitationsfeldrichtung gibt es keine Längen-Kontraktion und in der Richtung der des Gravitationsfeldes ist die Längen-Kontraktion am größten.

Siehe Peter Breitfeld "Grundzüge der Relativitätstheorie" Seite 32 ^[1] Albert Einstein "Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie" ^[2]

Die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit für tangentiale Lichtstrahlen ist: $c_{\mathrm {t} }(r)=c\,{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}}}\approx c\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{2r}}\right)$

Die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit für radiale Lichtstrahlen ist: $c_{\mathrm {r} }(r)=c\,\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)$

Für die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit für Lichtstrahlen mit einem Winkel $\beta$ zwischen

dem Lichtstrahl und der Richtung der Masse gilt:

c(r,\beta )=c\;{\sqrt {\sin ^{2}\beta \left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)+\cos ^{2}\beta \left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)^{2}}}\approx c\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{2r}}\left(1+\cos ^{2}\beta \right)\right)

Richtungsgeschwindigkeiten des Lichts: radial, tangential und dazwischen mit dem Winkel β

Für die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit für Lichtstrahlen mit einem Winkel $\beta$ zwischen dem Lichtstrahl und der Richtung der Masse gilt allgemeiner mit den zusätzlichen Parametern: $r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$ für den Schwarzschildradius der Masse $M$ ) und $\infty$ für den feldfreiem Beobachter (Entfernung = $\infty$ ):

c(r,r_{\mathrm {S} },\beta ,\infty )\approx c\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{2r}}\left(1+\cos ^{2}\beta \right)\right)

Siehe Epstein "Epstein erklärt Einstein" Teil G5 Verschiedene Lichtgeschwindigkeiten ?! Seite 113 ^[3]

Zeichnung zum Winkel $\beta$ als auch den radialen und tangentalen Lichtgeschwindigkeiten:

Siehe Jürgen Ehlers und Marcus Pössel in Max Born - Relativitäs-Theorie 2003 Aufl.5 Seite.... [3]

Siehe Roman Sexl - Weiße Zwerge - Schwarze Löcher - Seite 50 Berechnung zum Shapiro-Experiment ohne Hinweise auf tangentiale/radiale Radar-Signale. [4]

Siehe Gerthsen Meschede - Physik - Kapitel ART - Shapiro-Experiment mit sehr kurzer Berechnung, die aber 2 Fehler seit ca. 20 Jahren enthält. [5]

Siehe Einstein - Annalen der Physik 35 (1911) Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes [6]

Auf Seite 906 ist die Formel (3): $c=c_{\mathrm {0} }(1+{\frac {\Phi }{c^{2}}})$ . Sie gilt für einen Ort der relativ zum Koordinatenursprungsort das Gravitationspotential $\Phi$ besitzt. Formel (3) entspricht: $c_{\mathrm {r} }(r)=c\,\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)$ für Lichtstrahlen radial zum Massen-Mittelpunkt gemessen von einem feldfreien fernen Beobachter.

Der Schwarzschild-Radius ist $r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$ und es folgt $\Phi ={\frac {-2GM}{r}}={\frac {-r_{\mathrm {S} }c^{2}}{r}}$ .

Einstein gibt leider keine Formel für Orte mit gleichem Gravitationspotential. Es fehlt die Formel für die Lichtgeschwindigkeit tangentialer Lichtstrahlen. Vergleiche V.N. Strel’tsov - Light Velocity in General Relativity [7]

Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit Herleitung aus der Schwarzschild-Metrik

Der Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {S} }$ einer Masse $M$ ist gegeben durch: $r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$

G ist die Gravitationskonstante von Newton.

c ist die Lichtgeschwindigkeit.

Die Schwarzschild-Metrik lautet:

{d}s^{2}=g_{\mu \nu }{d}x^{\mu }{d}x^{\nu }=-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right){d}t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}}}{d}r^{2}+r^{2}{d}\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {d}\phi ^{2}

Für tangentiale Lichtstrahlen (tangential zur Kreisbahn um den Massen-Mittelpunkt) gilt:

{d}r=0

;

{d}\phi =0

und für alle Lichtstrahlen gilt:

{d}s=0

0=-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right){d}t^{2}+r^{2}{d}\phi ^{2}

c_{\mathrm {t} }(r)={\frac {r{d}\phi }{{d}t}}=c\,{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}}}\approx c\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{2r}}\right)=c\left(1-{\frac {GM}{c^{2}r}}\right)

Die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit für tangentiale Lichtstrahlen ist: $c_{\mathrm {t} }(r)=c\,{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}}}\approx c\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{2r}}\right)$

Für radiale Lichtstrahlen (radial zum Massen-Mittelpunkt) gilt:

{d}\theta =0

;

{d}\phi =0

und für alle Lichtstrahlen gilt:

{d}s=0

0=-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right){d}t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}}}{d}r^{2}

c_{\mathrm {r} }(r)={\frac {{d}r}{{d}t}}=c\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)=c\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)

Die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit für radiale Lichtstrahlen ist: $c_{\mathrm {r} }(r)=c\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)$

Für die Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit für Lichtstrahlen mit einem Winkel $\beta$ zwischen

dem Lichtstrahl und der Richtung der Masse gilt:

c(r,\beta )=c\,{\sqrt {\sin ^{2}\beta \left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)+\cos ^{2}\beta \left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)^{2}}}\qquad \;\qquad

; für

\;{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}<<1\;

gilt:

c(r,\beta )\approx c\,{\sqrt {\sin ^{2}\beta \left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)+\cos ^{2}\beta \left(1-{\frac {2r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)}}

c(r,\beta )\approx c\,{\sqrt {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)\left(\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta \right)+\cos ^{2}\beta \left(\left(1-{\frac {2r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)\right)}}

c(r,\beta )\approx c\,{\sqrt {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)1+\left({\frac {r-2r_{\mathrm {S} }-r+r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)\cos ^{2}\beta }}

c(r,\beta )\approx c\,{\sqrt {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\right)-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\cos ^{2}\beta }}

c(r,\beta )\approx c\,{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}\left(1+\cos ^{2}\beta \right)}}

; für

\;{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}<<1\;

gilt:

c(r,\beta )\approx c\,\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{2r}}\left(1+\cos ^{2}\beta \right)\right)

Berechnung der Radarsignal-Verzögerung in der Nähe der Sonne beim Shapiro-Effekt

Eine numerische Berechnung habe ich mit Mathematica gerechnet. Ist eine exakte analytische Berechnung ist möglich?

Roman Sexl in Weiße Zwerge - Schwarze Löcher 1974 auf den Seiten 50 bis 52 rechnet nur mit der radialen Koordinaten-Lichtgeschwindigkeit und erhält:

\Delta \,t={\frac {2r_{\mathrm {S} }}{c}}\;11,9={\frac {2}{c}}\;36\;km=240\,\mu sec

Die Laufzeitverzögerung entspricht daher einer scheinbaren Vergrößerung des Abstandes Erde-Venus um 36 km.

Durch die Annahme der Radarstrahl sei immer radial zur Sonne, errechnet sich eine Abstandsvergrößerung, die 8 % zu groß ist.

Berechnung der Lichtablenkung an der Sonne

Eine analytische Berechnung ist möglich (ca. 2 Seiten lang).

\Delta \,\varphi ={\frac {2r_{\mathrm {S} }}{b}}=1,75''

\alpha ={\frac {2r_{\mathrm {S} }}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}=1,75''

b ist der Minimalabstand des Radarstrahls von der Sonne und damit Radius der Sonne

Numerisch ist die Rechnung schwierig.

Berechnung der Brechzahl von Licht am Sonnenrand

Als Shapiro-Verzögerung, benannt nach Irwin I. Shapiro, bezeichnet man in der Allgemeinen Relativitätstheorie den Effekt, dass sich Licht in der Nähe einer großen Masse für einen weit entfernten Beobachter langsamer als mit Vakuumlichtgeschwindigkeit zu bewegen scheint.

Mithilfe der Shapiro-Verzögerung lässt sich auch die Lichtablenkung durch große Massen, der sogenannte Gravitationslinseneffekt, erklären.

Für schwache, zeitunabhängige Gravitationsfelder erhält man als Näherung für die Metrik in Kugelkoordinaten

g={\begin{pmatrix}1+2\phi (r)&0&0&0\\0&-1+2\phi (r)&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}{\theta }\end{pmatrix}}

Die Näherung lässt sich zum Beispiel gut an der Oberfläche eines Sterns verwenden, an der Oberfläche eines sehr viel dichteren Neutronensterns ist sie jedoch nicht so gut anwendbar und es gibt messbare Abweichungen. Bei der Anwendung auf einen Stern ist $\phi (r)=-{\frac {Gm}{c^{2}r}}$ das Gravitationspotential, wobei m die Masse des Sterns, G die newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit ist.

Mit dieser Näherung lässt sich anschaulich die Lichtablenkung durch Gravitation als Brechungseffekt interpretieren. Dazu muss man sich überlegen, was die reale Zeit an einem Raumzeitpunkt ist. Wir definieren für ein winziges Zeitintervall $d\tau$ :

d\tau ={\frac {\sqrt {g_{00}(r)}}{c}}dx^{0}

als die von einem Beobachter am Raumzeitpunkt x gemessene reale Zeit oder Eigenzeit. Außerdem muss man die Längenkontraktion berücksichtigen und die Länge x nahe der Masse definieren als

dx={\sqrt {-g_{11}(r)}}dr

.

Betrachten wir jetzt einen Lichtstrahl so ist seine reale Geschwindigkeit ${\frac {dx}{d\tau }}=c$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit und seine gemessene Geschwindigkeit ist $c{\frac {dr}{dx^{0}}}$ . Sie stehen nach der obigen Definition der Eigenzeit in folgendem Zusammenhang

c{\frac {dr}{dx^{0}}}={\sqrt {g_{00}(r)}}{\frac {dr}{d\tau }}={\sqrt {\frac {g_{00}(r)}{-g_{11}(r)}}}{\frac {dx}{d\tau }}\approx {\frac {c}{1-2\phi (x)}}

Wenn man beachtet, dass $\phi$ ein anziehendes Gravitationspotential, also negativ ist, erkennt man, dass die gemessene Geschwindigkeit des Lichtstrahls kleiner ist, als die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Man kann also das Gravitationsfeld in dieser Betrachtung als Medium mit der ortsabhängigen Brechzahl $n(x)\approx 1-2\phi (x)$ interpretieren. Da sich Licht entlang von Geodäten ausbreitet, lässt sich dies also auch so formulieren, dass nahe einer Masse die Geodäten im Raum gekrümmt sind. Neben der Lichtkrümmung führt dies auch zur Lichtverzögerung, die nach ihrem Entdecker als Shapiro-Verzögerung bezeichnet wird.

Am Sonnenrand ist $\phi =-10^{-6}$ woraus sich als Brechzahl $n=1,000.002$ ergibt. Der Effekt ist also im Vergleich zur gewöhnlichen optischen Brechung sehr klein. Dementsprechend klein ist auch der Winkel der Lichtablenkung im Gravitationsfeld.

Raumzeit-Krümmung

  vergleiche Raumzeit   Ist im folgenden Abschnitt g die Gravitationskonstante von Newton ??

Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch jede Form von Energie, wie etwa Masse, Strahlung oder Druck, verursacht. Diese Größen bilden zusammen den Energie-Impuls-Tensor und gehen in die Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang von Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben - in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c² beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.

In vielen populären Darstellungen der allgemeinen Relativitätstheorie wird häufig nicht beachtet, dass nicht nur der Raum, sondern auch die Zeit gekrümmt sein muss, um ein Gravitationsfeld zu erzeugen. Dass stets Raum und Zeit gekrümmt sein müssen, ist anschaulich leicht zu verstehen: Wäre nur der Raum gekrümmt, so wäre die Trajektorie eines geworfenen Steines immer dieselbe, egal welche Anfangsgeschwindigkeit der Stein besäße, da er stets nur dem gekrümmten Raum folgen würde. Nur durch die zusätzliche Krümmung der Zeit können die verschiedenen Trajektorien zustande kommen. Im Rahmen der ART kann dies auch mathematisch gezeigt werden.

Im normalen, dreidimensionalen Raum ist nur die Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. Hat der Körper die Geschwindigkeit v, so ist die Weltlinie gegenüber der Zeitachse geneigt, und zwar um den Winkel $\tan \alpha =v/c$ . Die Projektion der Bahn wird mit steigendem v um den Faktor $1/\sin \alpha$ länger, der Krümmungsradius um den gleichen Faktor $1/\sin \alpha$ größer, die Winkeländerung also kleiner. Die Krümmung (Winkeländerung pro Längenabschnitt) ist daher um den Faktor $\sin ^{2}\alpha$ kleiner.

Mit

\sin \alpha ={\frac {v}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

folgt dann aus der Weltlinienkrümmung g/c² für die beobachtete Bahnkrümmung $R$ im dreidimensionalen Raum

R={\frac {g}{v^{2}}}\cdot \left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)

.

Raumkrümmung und Zentrifugalbeschleunigung

Für kleine Geschwindigkeiten v≪c ist die Bahnkrümmung g/v² und entspricht damit dem Wert bei einer klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mit v=c hat der Faktor (1 + v²/c²) den Wert 2, die Krümmung entspricht also dem doppelten Wert 2g/v² der klassischen Betrachtung. Die Winkelabweichung von Sternenlicht der Fixsterne in Sonnenähe sollte also doppelt so groß sein wie im klassischen Fall.

v={\sqrt {2\cdot G\cdot h}}

r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}

.

Literatur

Sklar, L.: Space, Time, and Spacetime, University of California Press 1977 Nach wie vor die beste philosophische Einführung mit geringem technischem Apparat

Weblinks

Albert Einstein: Space-Time, der klassische Lexikonartikel der Encyclopædia Britannica 1926

Einzelnachweise

↑ Peter Breitfeld: Grundzüge der Relativitätstheorie [1]
↑ Albert Einstein: Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 55, 1918, S. 241–244 (Faksimile, PDF).
↑ Epstein: Epstein erklärt Einstein [2]

Stammliste

Nikolaus de Deken (etwa 1290-nach 1360), hatte Landbesitz in Kehdingen und war Knappe des Bremer Stifts.
- Claus von der Decken (etwa 1320-1375), Landbesitz auf Wechtern und auf dem Kampe
  - Claus der Ältere von der Decken (etwa 1355-lebte 1383, 1394, 1395), auf Wechtern, Stellenfleet, Laak und auf dem Kampe
    - Marquard von der Decken (1390–1631), auf Stellenfleet und auf dem Kampe
      - Volrad von der Decken (etwa 1420-1494), auf Stellenfleet und auf dem Kampe
        Claus von der Decken (Stade) (1460–1541), Ratsherr und Bürgermeister von Stade (Begründer der fünf Linien der Familie)
        Hermann von der Decken (etwa 1500–1550), Ratsherr und Bürgermeister von Stade (Begründer der ersten Linie) auf Oerichsheil in Oederquart, Balje und auf dem Kampe
        Peter von der Decken (1539–1619), auf Oerichsheil in Oederquart, Ritterhof, Bruchhof, Wechtern II und III und auf dem Stammgute Kampe
        Hermann Vollrad von der Decken (1575–1639), auf Oerichsheil, Bruchhof, Wechtern V und auf dem Stammgute Kampe
        Heinrich Otto von der Decken ( –1681), auf Oerichsheil und Esch I
        Burchard von der Decken (1646–1717), auf Oerichsheil und Laak schwedischer Rittmeister
        Burchard von der Decken (1694–1776), auf Oerichsheil schwedischer Leutnant, dann Landrat und Oberdeichgräfe
        Carl Gustav von der Decken (1725–1780), auf Langwedel bei Verden, hannoverscher Oberstleutnant
        Johann Friedrich von der Decken (1769–1840), auf Ringelheim am Harz, Söderhof in Haverlah und Döse seit 1833 Majoratsherr und Graf, Hannoverscher Generalfeldzeugmeister und englischer Generalleutnant
        Adolphus Graf von der Decken (1807–1886), auf Ringelheim und Söderhof Königlich hannoverscher Geheimrat und Kammerherr, Majoratsherr und Graf
        George Graf von der Decken (1836–1898), auf Ringelheim und Söderhof, Reichstagsabgeordneter, Majoratsherr und Graf
        
        Otto Friedrich von der Decken (1732–1804), auf Oerichsheil, Grauerort und Holenwisch, Oberstleutnant
        Ludwig Eberhard von der Decken (1771-1812), dänischer Leutnant
        Friedrich von der Decken (Minister) (1802-1881), königlich hannoverscher Minister auf Rutenstein Mitglied des Herrenhauses
        Otto von der Decken (1839-1916), Reichstagsabgeordneter auf Rutenstein
        
        Ludwig Eberhard von der Decken (1812-1871), hannoverscher Oberstleutnant auf Götzdorf
        
        Georg Julius Wilhelm Ludwig Graf von der Decken (1787–1859), auf Oerichsheil Königlich hannoverscher General der Kavallerie
        
        Claus von der Decken (1516–1588), auf Stellenfleth (Begründer der vierten Linie)
        Heinrich der Ältere von der Decken (1568-1632), auf Gauensiek und Drochtersen
        Claus der Jüngere von der Decken (1661- ), auf Gauensiek, Rittershausen und Drochtersen
        Hinrich von der Decken ( -1691), auf Rittershausen, Domherr in Lübeck
        Claus von der Decken (1676-1721), auf Rittershausen Hofgerichttsassessor
        Nicolaus Benedict von der Decken (1704-1775), auf Rittershausen, Feldhof, Drochtersen
        Claus von der Decken (1742–1826), hannoverscher Staatsminister auf Rittershausen, Feldhof, Drochtersen und Melkof
        Ernst Carl von der Decken (1796-1846)auf Melkhof
        Karl Klaus von der Decken (1833–1865), Afrikaforscher

[Breitfeld-1] Peter Breitfeld: Grundzüge der Relativitätstheorie [1]

[Ein1918-2] Albert Einstein: Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 55, 1918, S. 241–244 (Faksimile, PDF).

[Epstein-3] Epstein: Epstein erklärt Einstein [2]

[1]

[2]

[3]