Fraktionale Infinitesimalrechnung

Fraktionale Infinitesimalrechnung bezeichnet die Erweiterung des Ableitungsbegriffs auf nichtganzzahlige Ordnungen. Der Begriff "fraktional" ist dabei historisch bedingt, die Ableitungen können ganz allgemein von reeller oder sogar komplexer Ordnung sein.

Vorab: wichtige Funktionen und Integraltransformationen

Diese Funktionen und Transformationen haben meist jeweils eigene Artikel in Wikipedia, da sie aber bei der Definition der fraktionalen Integrale elementar wichtig sind sollen sie hier kurz als Definitionen zusammengefasst werden.

(Unvollständige) Gammafunktion

Als Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion wird die Gammafunktion wie folgt definiert:
$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\mathrm {d} t$
Für ganzzahlige Argumente ergibt sich $\Gamma (n+1)=n!$.

Im Falle der unvollständige Gammafunktion wird nicht bis unendlich, sondern nur bis zu einem bestimmten Wert y integriert:
$\gamma (x,y)=\int _{0}^{y}t^{x-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

Betafunktion

Die Betafunktion wird definiert als
$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t$
wobei sie sich auch als Produkt von Gammafunktionen darstellen läßt:
$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

Hypergeometrische Funktion

Als Erweiterung der geometrischen Reihe wird die hypergeometrische Funktion definiert als
$F_{pq}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}}$
Sofort einsichtig ist der Spezialfall $F_{00}(;;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$

Fouriertransformation

Für $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ (z.B. d=1) definiert man
${\tilde {f}}(k)=({\mathcal {F}}f)(k)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ikx}f(x)\mathrm {d} x$
als Fouriertransformation, und
$f(x)=({\mathcal {F}}^{-1}{\tilde {f}})(x)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi ikx}{\tilde {f}}(k)\mathrm {d} k$
als Rücktransformation.

Man beachte, dass es verschiedene Definitionsmöglichkeiten der Fouriertransformation gibt, die sich darin unterscheiden, in welche Transformation man das Minuszeichen in der e-Funktion schreibt, oder wo der Faktor von 2π auftaucht.

Translationsoperator: $(\tau _{a}f)(x)=f(x-a)\Rightarrow (\tau _{a}f)^{\sim }(k)=e^{-2\pi ika}{\tilde {f}}(k)\quad \land \quad (e^{2\pi iax}f)^{\sim }(k)=(\tau _{a}{\tilde {f}})(k)={\tilde {f}}(k-a)$

Streckoperator: $(\delta _{\lambda }f)(x)=f\left({\frac {x}{\lambda }}\right)\quad \forall \lambda >0\qquad \Rightarrow \qquad (\delta _{\lambda }f)^{\sim }(k)=\lambda f(\lambda k)$ bzw. in d Dimensionen: $(\delta _{\lambda }f)^{\sim }({\vec {k}})=\lambda ^{d}f(\lambda {\vec {k}})$

Faltung: $(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)\mathrm {d} y\quad (=\int _{-\infty }^{\infty }(\tau _{a}f)(x)g(y)\mathrm {d} y)$

Daraus folgt der Faltungssatz: Für $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ist

$({\mathcal {F}}(f*g))(k)=({\mathcal {F}}f)(k)({\mathcal {F}}g)(k)$

Die Fouriertransformation macht also aus der Faltung zweier Funktionen die Multiplikation ihrer Fouriertransformierten.

Weiter gilt für $f\in L^{1}(\mathbb {R^{d}} )$

$\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}f\right)^{\sim }({\vec {k}})=2\pi ik_{j}{\tilde {f}}({\vec {k}})$

Laplacetransformation

Sei $f\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{+})$, dann ist die Laplacetransformation definiert als

${\tilde {f}}(u)=({\mathcal {L}}f)(u)=\int _{0}^{\infty }e^{-ux}\mathrm {d} x$

Die Laplacefaltung wird ähnlich wie die Fourierfaltung definiert und liefert einen ähnlichen Zusammenhang:

$(f\star g)(x)=\int _{0}^{\infty }f(x-y)g(y)\Rightarrow {\mathcal {L}}(f\star g)(u)=({\mathcal {L}}f)(u)({\mathcal {L}}g)(u)$

Historie

Schon bedeutende Mathematiker wie Leibniz und Euler beschäftigten sich mit der Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffes. Leibniz schildert in einem Brief an l'Hospital die Ähnlichkeit zwischen Potenzen und der Produktregel von Ableitungen:
$(x+y)^{n}=x^{n}y^{0}+nx^{n-1}y+\dots +x^{0}y^{n}$
$\mathrm {d} ^{n}(xy)=\mathrm {d} ^{n}x\mathrm {d} ^{0}y+n\mathrm {d} ^{n-1}x\mathrm {d} y+\dots +\mathrm {d} ^{0}x\mathrm {d} ^{n}y$
was sich scheinbar einfach auf
$\mathrm {d} ^{\alpha }(fg)=\mathrm {d} ^{\alpha }f\mathrm {d} ^{0}g+{\frac {\alpha }{1}}\mathrm {d} ^{\alpha -1}f\mathrm {d} g+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{1\cdot 2}}\mathrm {d} ^{\alpha -2}f\mathrm {d} ^{2}g+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\mathrm {d} ^{\alpha -3}f\mathrm {d} ^{3}g\dots$
verallgemeinern läßt (wobei man im Falle von α-n negativ $\mathrm {d} ^{\alpha -n}=\int _{}^{n-\alpha }$ setzt). Jedoch treten bei solch naiver Verwendung von Symboliken Probleme auf. Als Beispiel wähle man eine Funktion f so, dass
$\mathrm {d} f=f\mathrm {d} x\land \mathrm {d} ^{2}f=f\mathrm {d} x^{2}$
$\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}})}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=f\land \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} f}{f}}$
(Man beachte das mathematisch an sich nicht korrekte "durchmultiplizieren" mit dx)
Man denkt bei so einer Funktion direkt an die e-Funktion, die jedoch damals noch nicht explizit als solche bekannt war. Wo trifft man nun auf einen Widerspruch, wenn man $\mathrm {d} ^{\alpha }f=f\mathrm {d} x^{\alpha }$ betrachtet? Um das zu sehen setzt man einfach $\alpha ={\frac {1}{2}}$:
${\frac {\mathrm {d} ^{\frac {1}{2}}f}{\mathrm {d} x^{\frac {1}{2}}}}={\frac {\mathrm {d} ^{\frac {1}{2}}f}{({\frac {\mathrm {d} f}{f}})^{\frac {1}{2}}}}={\sqrt {\frac {f}{\mathrm {d} f}}}\mathrm {d} ^{\frac {1}{2}}f\neq f$

Somit kann Leibniz einfacher Ansatz nicht die geeignete Lösung des Problems sein.

Eulers Ansatz

Euler betrachtete ganzzahlige Ableitungen von Potenzfunktionen z^m. Wie leicht zu sehen ist gilt für diese:

${\frac {\mathrm {d} ^{n}z^{m}}{\mathrm {d} z^{n}}}={\frac {m!}{(n-m)!}}z^{m-n}$

Er versuchte nun, diese Beziehung durch Ersetzen der Fakultäts- durch die von ihm gefundene Gammafunktion auf nichtganzzahlige Potenzen zu verallgemeinern:

${\frac {\mathrm {d} ^{\alpha }z^{\beta }}{\mathrm {d} z^{\alpha }}}={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta -\alpha +1)}}z^{\beta -\alpha }$

Leider führt auch dieser Weg zu Widersprüchen. Wieder betrachte man die e-Funktion e^λx, welche n-mal differenziert λⁿe^λx ergibt; verallgemeinert also:

${\frac {\mathrm {d} ^{\alpha }e^{\lambda x}}{\mathrm {d} x^{\alpha }}}=\lambda ^{\alpha }e^{\lambda x}$

Auf der anderen Seite jedoch ist die e-Funktion nur eine unendliche Potenzreihe, nämlich $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$.

Somit hat man zwei Möglichkeiten die α-Ableitung von e^x zu berechnen:

1. Direkt: ${\frac {\mathrm {d} ^{\alpha }e^{x}}{\mathrm {d} x^{\alpha }}}=e^{x}$
2. Indirekt über die Potenzreihendarstellung: ${\frac {\mathrm {d} ^{\alpha }}{\mathrm {d} x^{\alpha }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} ^{\alpha }}{\mathrm {d} x^{\alpha }}}{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n-\alpha }}{\Gamma (n-\alpha +1)}}\neq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{\Gamma (n+1)}}=e^{x}$

Diesen Widerspruch kann man mit dem Beispiel α=-1 erklären, wenn wieder negative Exponenten der Differentialoperatoren als Integrale aufgefasst werden:

${\frac {\mathrm {d} ^{-1}}{\mathrm {d} x^{-1}}}e^{x}=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\mathrm {d} t=e^{x}$

${\frac {\mathrm {d} ^{-1}}{\mathrm {d} x^{-1}}}x^{\beta }=\int _{0}^{x}t^{\beta }\mathrm {d} t={\frac {x^{\beta +1}}{\beta +1}}$

Man beachte die unterschiedlichen unteren Grenzen! Sie verdeutlichen, dass man mit diesem Ansatz "wissen muß", von wo bis wo man zu integrieren hat, um die korrekte Stammfunktion zu finden. Somit ist auch Eulers Ansatz, obwohl von der Idee und Ausführung her besser, leider nicht geeignet den Differentialoperator korrekt auf relle Potenzen zu verallgemeinern.

Definition fraktionaler Integraloperatoren $I_{a+}^{\alpha }$ und $I_{a-}^{\alpha }$

Iterative und fraktionale Integrale

Eine Möglichkeit, fraktionale Integrale widerspruchsfrei zu definieren ergibt sich aus der Formel, die die doppelte Integration über zwei Variablen mit gleicher unterer Grenze in ein einziges Integral überführt. Diese Formel kann auf beliebig viele Integrale erweitert werden.

Ohne Beweis: $\int _{a}^{x}\int _{a}^{y}f(z)\mathrm {d} z\mathrm {d} y=\int _{a}^{x}(x-y)f(y)\mathrm {d} y$

Führt man nun noch den Integraloperator I_a+ wie folgt ein,

$(I_{a+}f)(x)=\int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y=[F(y)]_{a}^{x}=F(x)-F(a)$

(wobei F(x) die Stammfunktion von f(x) ist), dann können beliebig hohe Potenzen dieses Operators dank obiger Formel von Mehrfachintegralen auf ein einziges Integral zurückgeführt werden.

$(I_{a+}^{n}f)(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{y_{1}}\int _{a}^{y_{2}}\dots \int _{a}^{y_{n-1}}f(y_{n})\mathrm {d} y_{n}\mathrm {d} y_{n-1}\dots \mathrm {d} y_{1}={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-y)^{n-1}f(y)\mathrm {d} y$

Im Gegensatz zu den Formeln zu Beginn kann man diesen Integraloperator relativ problemlos von ganzen Zahlen n auf reelle (bzw. komplexe) Zahlen α verallgemeinern, indem man n durch α und die Fakultät durch die Gammafunktion ersetzt und fordert, dass $-\infty \leq \alpha <x<\infty \land f\in L_{loc}^{1}(a,\infty )$:

$(I_{a+}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}(x-y)^{\alpha -1}f(y)\mathrm {d} y$

Dies wird rechtsseitiges fraktionales Riemann-Liouville-Integral genannt.

Analog dazu kann durch

$(I_{b-}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{x}^{b}(y-x)^{\alpha -1}f(y)\mathrm {d} y$

das linksseitige Äquivalent definiert werden.

Rückführung fraktionaler Integrale auf Faltungen

Definiert man die Distribution $x_{a+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&\forall x>a\\0&\forall x\leq a\end{cases}}$, kann das fraktionale Integral auf eine Laplacefaltung zurückgeführt werden:

${\mathcal {L}}(I_{a+}^{\alpha }f)(u)=({\mathcal {L}}f)(u)({\mathcal {L}}{\frac {x_{a+}^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}})(u)$ da ${\mathcal {L}}(x_{a+}^{\alpha })(u)=\Gamma (\alpha -1)u^{-\alpha -1}$

Fraktionale Weylintegrale

Läßt man in den Gleichungen oben a bzw. b betragsmäßig gegen unendlich gehen erhält man die sogenannten Weylintegrale und die entsprechenden partiellen Integraloperatoren

$(I_{+}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{-\infty }^{x}(x-y)^{\alpha -1}f(y)\mathrm {d} y$

$(I_{-}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{x}^{\infty }(y-x)^{\alpha -1}f(y)\mathrm {d} y$

für $-\infty <x<\infty$ und der Definitionsmenge ${\mathcal {f}}f{\mathcal {j}}I_{\pm }^{\alpha }f<\infty {\mathcal {g}}$ (z.B. $f\in L^{p}(\mathbb {R} ),1\leq p\leq {\frac {1}{\alpha }}$).

Fraktionale Weylintegrale und Faltungen

Auch fraktionale Weylintegrale lassen sich auf Faltungen zurückführen. Allerdings sind dies Fourierfaltungen, da Weylintegrale eine unendliche untere bzw. obere Grenze haben.

$(I_{+}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{-\infty }^{x}(x-y)^{\alpha -1}f(y)\mathrm {d} y$

was durch x-y=t überführt werden kann in

${\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}f(x-t)\mathrm {d} t={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{-\infty }^{\infty }t_{+}^{\alpha -1}f(y)\mathrm {d} y$ mit $t_{+}^{\alpha }={\begin{cases}t^{\alpha }&\forall t>0\\0&\forall t\leq 0\end{cases}}$

$\Rightarrow (I_{+}^{\alpha }f)(x)=(f*{\frac {x_{+}^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}})(x)$

Daher ergibt die Fouriertransformation für $0<\alpha <1$

$(I_{+}^{\alpha }f)^{\sim }(k)=({\mathcal {F}}I_{+}^{\alpha }f)(k)=\left({\mathcal {F}}{\frac {x_{+}^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}\right)(k)({\mathcal {F}}f)(k)=(2\pi ik)^{-\alpha }{\tilde {f}}(k)$

Man sieht also, dass der fraktionale Riemann-Liouville-Integraloperator durch die Laplacefaltung, der fraktionale Weyl-Integraloperator entsprechend durch die Fourierfaltung diagonalisiert wird.

Beispiele

${\underline {f(x)=x^{\beta }}}$:

$(I_{0+}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha }})\int _{0}^{x}(x-y)^{\alpha -1}y^{\beta }\mathrm {d} y={\frac {x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(1-{\frac {y}{x}})^{\alpha -1}y^{\beta }\mathrm {d} y$

Substituiere z(y)=y/x -> dy=xdz

$(I_{0+}^{\alpha }f)(x)={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{1}(1-z)^{\alpha -1}z^{\beta }\mathrm {d} y={\frac {\mathrm {B} (\beta +1,\alpha )x^{\alpha -\beta }}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}x^{\alpha +\beta }$

Im Spezialfall α=1 wird daraus

$(I_{0+}^{1}f)(x)={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta +2)}}x^{1+\beta }={\frac {\Gamma (\beta +1)}{(\beta +1)\Gamma (\beta +1)}}x^{\beta +1}={\frac {1}{\beta +1}}x^{\beta +1}$

${\underline {f(x)=e^{ax}}}$ (mit der Substitution z=a(x-y):

$(I_{+}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{-\infty }^{x}(x-y)^{\alpha -1}e^{ay}\mathrm {d} y=-{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{\infty }^{0}({\frac {z}{a}})^{\alpha -1}e^{ax-z}{\frac {1}{a}}\mathrm {d} z={\frac {a^{-\alpha }e^{ax}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }z^{\alpha -1}e^{-z}\mathrm {d} z=a^{-\alpha }e^{ax}$

Man erkennt also, dass man auch bei diesem Integraloperator, ähnlich wie bei Eulers Ansatz, "wissen muß", von wo bis wo man zu integrieren hat, um die eigentliche Stammfunktion einer Funktion zu erhalten, jedoch steckt dies in der Operatordefinition explizit drin. Man muß somit die untere Grenze so wählen, dass in F(x)-F(a) (siehe ganz oben, Def. von I_a+) das F(a) verschwindet und man F(x) (bzw. das fraktionale Äquivalent dazu) erhält. So haben wir in diesem zweiten Beispiel e^ax von -∞ bis x integriert, wohlwissend, dass e^ax für a -> -∞ gegen 0 geht. Daher integrieren wir diese Funktion einfach nocheinmal, diesmal jedoch mit unterer Grenze 0 (und der Substitution z=x-y):

$(I_{0+}^{\alpha }e^{ax})(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-y)^{\alpha -1}e^{ay}\mathrm {d} y={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}z^{\alpha -1}e^{a(x-z)}\mathrm {d} z={\frac {e^{ax}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}z^{\alpha -1}e^{-z}\mathrm {d} z$

Substituiert man hier nun noch az mit t, dann ergibt sich:

$={\frac {e^{ax}}{\Gamma (\alpha )a^{\alpha -1}}}\int _{0}^{ax}t^{\alpha -1}e^{-t}{\frac {1}{a}}\mathrm {d} t={\frac {\gamma (\alpha ,ax)}{b^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}e^{ax}$

${\underline {f(x)=(x+c)^{\beta }}}$:

$(I_{0+}^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-y)^{\alpha -1}(y+c)^{\beta }\mathrm {d} y={\frac {c^{\beta }x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(1-{\frac {y}{x}})^{\alpha -1}(1+{\frac {y}{c}})^{\beta }\mathrm {d} y$

Substitution von z mit y/x führt auf

$(I_{0+}^{\alpha }f)(x)={\frac {c^{\beta }x^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{1}(1-z)^{\alpha -1}(1+{\frac {xz}{c}})^{\beta }\mathrm {d} z$

Man vergleiche dies mit $\int _{0}^{1}y^{a-1}(1-y)^{c-a-1}(1-zy)^{-b}\mathrm {d} y={\frac {\Gamma (c-a)\Gamma (a)}{\Gamma (c)}}F_{21}(a,b;c;z)$. Man sieht, dass man einfach a=1, b=-β, c=α+1 und z=-x/c setzen muß, um das obige Integral zu erhalten. Also ist

$(I_{0+}^{\alpha }f)(x)={\frac {x^{\alpha }c^{\beta }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {\Gamma (\alpha +1-1)\Gamma (1)}{\Gamma (\alpha +1)}}F_{21}(1,-\beta ;\alpha +1;-{\frac {x}{c}})={\frac {c^{\beta }}{\Gamma (\alpha +1)}}F_{21}(1,-\beta ;\alpha +1;-{\frac {x}{c}})x^{\alpha }$

Integration von hypergeometrischen Funktionen

Da sich mit hypergeometrischen Funktionen sehr viele andere Funktionen darstellen lassen bietet es sich an, hier eine Formel zu deren Integration darzustellen.

$f(x)=F_{pq}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};x)$

$(I_{0+}^{\alpha }f)(x)={\frac {x^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}F_{p+1q+1}(a_{1},\dots ,a_{p},1;b_{1},\dots ,b_{q},1+\alpha ;x)$