Kongruenz (Geometrie)
In der Geometrie sind zwei Figuren kongruent (deckungsgleich) (von lat. congruens = übereinstimmend, passend), wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt, d. h. zur Deckung gebracht werden können. Kongruenzabbildungen (auch Bewegungen genannt) sind Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung und die Verknüpfungen dieser Abbildungen.
Die Kongruenz ebener geometrischer Figuren lässt sich anschaulich so deuten: Man kann die eine Figur mit der Schere ausschneiden und so auf die andere legen, dass beide genau übereinander liegen. Das Gegenteil der Kongruenz ist die Inkongruenz.
Kongruente Figuren zeichnen sich dadurch aus, dass entsprechende Streckenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen.
Beispiel
Die ersten beiden Figuren sind kongruent. Die Dritte hat zwar dieselbe Form, ist aber kleiner. Sie ist daher ähnlich zu der ersten und zweiten Figur, aber nicht kongruent. Die letzte Figur hat nicht dieselbe Form und ist somit weder ähnlich noch kongruent zu den T-förmigen Figuren.Dann wir scheiße gebaut.
Kongruenz von Dreiecken
Besonders leicht lässt sich die Kongruenz von Dreiecken mithilfe folgender vier Kongruenzsätze überprüfen, die einfache Kriterien liefern, unter denen zwei Dreiecke kongruent sind:
Stimmen zwei Dreiecke in
- sss: drei Seiten,
- wsw: einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln,
- sws: zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder
- Ssw: zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite
überein, dann stimmen sie auch in den anderen Seiten oder Winkeln überein und sind damit kongruent.
Punktgruppe (Symmetriegruppe) einer Figur
Die Menge aller Kongruenzabbildungen (Kongruenzen) einer Figur bildet deren Punktgruppe oder auch Symmetriegruppe. Im obigen Beispiel besteht diese aus der Identität und einer Spiegelung. Im Fall des regulären n-Ecks besteht diese aus n Drehungen (einschl. der Identität) und n Spiegelungen.
Kongruenz in der Raumgeometrie
In der Stereometrie (Raum-Geometrie) spricht man bei Polyedern gegebenenfalls auch von der Kongruenz von Ecken, falls zwei Ecken dieselbe Anzahl von Kanten und Flächen mit denselben Winkeln (in derselben Reihenfolge) vereinigen; dabei müssen nicht nur die Winkel in den Seitenflächen des Polyeders gleich sein, sondern auch alle Winkel zwischen entsprechenden Kantenpaaren. Die eine Ecke muss sich ggf. durch eine Kongruenzabbildung in die andere überführen lassen.