Benutzer:Hederich/Tupel

Der Tupel-Begriff verallgemeinert den des geordneten Paars: Ein geordnetes Paar hat nur zwei Komponenten, eine erste und eine zweite, ein Tupel kann weitere haben, aber auch weniger (nur eine einzige oder gar keine).  Ein Tupel der Länge $\,^{n}$, ($\,^{n\,\geq \,0}$), kurz auch $\,^{n}$-Tupel genannt, ist eine Liste, in der hintereinander $\,^{n}$ Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte stehen. Das an $\,^{\imath }$-ter Stelle eines nicht-leeren Tupels angegebene Objekt nennt man seine $\,^{\imath }$-te Komponente. Es ist üblich, ein $\,^{n}$-Tupel so zu notieren:  $\,^{(\,)}$, wenn $\,^{n}$ = 0; andernfalls so:  $\,^{(x_{1},\cdots x_{n})}$, auch mit anderen Klammern, wobei $\,^{x_{i}}$ seine $\,^{\imath }$-te Komponente ist. Für “Tupel” sagt man auch “endliche Folge”, für “$\,^{n}$-Tupel” auch “$\,^{n}$-gliedrige Folge”,  3-Tupel und 4-Tupel werden oft Tripel respektive Quadrupel genannt.

Der Begriff des Tupels ist durch das Peanosche Lesbarkeitsaxiom charakterisiert, welches in zwei Versionen vorliegt:

1. Zwei Tupel gelten genau dann als gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind .
2. Zwei gleichlange Tupel gelten genau dann als gleich, wenn ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind .
   

Beispiele

	1-Tupel:	$\,^{(0)}$
	3-Tupel:	$\,^{{\boldsymbol {(}}\{(a,c),(b,c)\}\,,\,\{a,b\}\,,\,\{c,d\}{\boldsymbol {)}}}$	Funktion mit dem Graphen $\,^{\{(a,c),(b,c)\}}$, dem Definitionsbereich $\,^{\{a,b\}}$ und dem Zielbereich $\,^{\{c,d\}}$
	5-Tupel:	$\,^{(1,1,0,0,1)}$	Bitfolge einer Binärdarstellung der Zahl 25
	($\,^{n}$+1)-Tupel:	$\,^{(a_{_{0}},a_{_{1}},\cdots \,a_{_{n}})}$	Koeffizientenfolge des Polynoms   $\,^{a_{_{0}}+a_{_{1}}x^{1}+\cdots \,a_{_{n}}x^{n}}$
	2-Tupel:	$\,^{(\,(a_{_{11}},\,a_{_{12}})\,,\,(a_{_{21}},\,a_{_{22}})\,)}$	als Matrix geschrieben:  ${\tbinom {\,a_{_{11}}\;a_{_{12}}}{\,a_{_{21}}\;a_{_{22}}}}$
	4-Tupel:	$\,^{(G\,,\,\ast \,,\,{\text{x}}^{-1},\,n)}$	Gruppe auf der Menge $\,^{G}$ mit der Verknüpfung $\,^{\ast }$, der Inversenfunktion $\,^{\text{x}}$−1 und dem neutralen Gruppenelement $\,^{n}$

Definition als Menge

Die Definitionen A und B genügen der ersten Version des Peanosche Lesbarkeitsaxioms, C der zweiten. A benötigt keinen vordefinierten Begriff, B und C den des geordneten Paars. (Geordnete Paare nachstehend in eckigen Klammern)

A	$\,^{n=0}$:	$\,^{(\,)\,:=\,\emptyset }$	B	$\,^{n=0}$:	$\,^{(\,)\,:=\,\emptyset }$	C	$\,^{n=1}$:	$\,^{(x)\,:=\,x}$
	$\,^{n=1}$:	$\,^{(x)\,:=\,\{\emptyset \,,\,\{x\}\}}$		$\,^{n>0}$:	$\,^{(x_{1},\,\cdots \,x_{n})\,:=\,\{{\boldsymbol {[}}i,x_{i}{\boldsymbol {]}}\}_{i=1}^{^{n}}}$		$\,^{n>1}$:	$\,^{(x_{1},\,\cdots \,x_{n})\,:=\,{\boldsymbol {[}}(x_{1},\,\cdots \,x_{n-1})\,,\,x_{n}{\boldsymbol {]}}}$
	$\,^{n>1}$:	$\,^{(x_{1},\,\cdots \,x_{n})\,:=\,\{(x_{1},\,\cdots \,x_{n-1})\,,\,\{x_{n}\}\}}$

Verwendungen

• Als Elemente eines $\,^{n}$-dimensionalen Vektorraums, $\,^{n>0}$. (Tupel nach A, B, C)

Man kann sie addieren:   $\,^{(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}})+(y_{_{1}},\,\cdots \,y_{_{n}})\;:=\;(x_{_{1}}\!+y_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}}\!+y_{_{n}})}$

Skalarprodukte bilden:   $\,^{(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}}){\boldsymbol {\cdot }}(y_{_{1}},\,\cdots \,y_{_{n}})\;:=\;x_{_{1}}y_{_{1}}+\,\cdots \,x_{_{n}}y_{_{n}}}$.

mit einem Skalar multiplizieren:   $\,^{x\,(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}})\,:=\,(xx_{_{1}},\,\cdots \,xx_{_{n}})}$

• Als Elemente des Monoids mit der Verknüpfung: (Tupel nach A, B)

$\,^{(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}}){\,\circ \,}(y_{_{1}},\,\cdots \,y_{_{m}})\;:=\;(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}},\,y_{_{1}},\,\cdots \,y_{_{m}})}$

$\,^{(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}}){\,\circ \,}(\,)\;:=\;(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}})}$

$\,^{(\,){\,\circ \,}(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}})\;:=\;(x_{_{1}},\,\cdots \,x_{_{n}})}$

• Als Elemente des Kartesischen Produktes über einem $\,^{n}$-Tupel, $\,^{n\geq 0}$: (Tupel nach A, B, wenn $\,^{n>0}$ auch nach C)

$\,^{(\,)^{\times }\,:=\;\emptyset }$

$\,^{(X_{1},\,\cdots \,X_{n})^{\times }\,:=\,X_{1}\times \,\cdots \,X_{n}\,:=\,\{(x_{1},\,\cdots \,x_{n})\,|\,x_{1}\in X_{1}\,\wedge \,\cdots \,x_{n}\in X_{n}\}}$

Literatur

• Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: Theory of Sets. Hermann, Paris / Addison-Wesley Reading, Massachusetts, 1968.
• H.-D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, 4. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin 2003.