Affine Abbildung

Eine affine Abbildung (auch affine Transformation oder lineare Transformation) ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (oder affinen Räumen), die Kollinearitäten und Abstandsverhältnisse bewahrt.

Erklärung:

Bewahrung der Kollinearität bedeutet, dass die Bilder von Punkten, die auf einer Geraden liegen (d.h. kollinear sind), wieder auf einer Geraden liegen. Ebenso sind die Bilder paralleler Geraden wieder parallel.

Spezialfälle:

Wenn die Abbildung bijektiv (umkehrbar eindeutig) ist, heißt sie Affinität. Eine abstandsbewahrende Affinität heißt Bewegung. Eine Abbildung ist umkehrbar, wenn die Determinante der Abbildungsmatrix ungleich 0 ist.

Abweichende Definitionen:

Mitunter wird schon in der Definition der affinen Abbildung Bijektivität gefordert.

In der Schulmathematik und manchen Anwendungsgebieten (zum Beispiel in der Statistik, siehe unten) wird die affine Abbildung lineare Abbildung genannt. Im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch ist eine lineare Abbildung jedoch eine affine Abbildung ohne Translationsanteil.

Koordinatendarstellung

Eine affine Abbildung setzt sich aus einer linearen Abbildung und einer Translation zusammen. Schreibt man die lineare Transformation als Matrix-Vektor-Produkt, so ergibt sich die affine Transformation f aus der Matrix A und dem Verschiebungsvektor t:

f(x)=A\cdot x+t

Die affinen Abbildungen umfassen alle linearen Abbildungen (mit t=0) und ergänzen diese (z.B. Rotation, Skalierung, Scherung) um die Translationen.

Anwendungen

Affine Abbildungen kommen z.B. in der Kartographie und der Bildbearbeitung zur Anwendung. Innerhalb der Mathematik tauchen sie ebenfalls in verschiedenen Bereichen wie der Funktionentheorie auf. Häufige affine Abbildungen, die zum Beispiel in der Robotik oder Computergrafik Anwendung finden, sind Translation, Rotation, Skalierung, Reflexion (Mathematik) und Scherung.

Lineare Transformation in der Statistik

Als lineare Transformation werden affine Abbildungen beispielsweise in den statistischen Methoden eingesetzt.

Verteilungsparameter einer Zufallsvariablen X

Betrachtet wird eine Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert EX und der Varianz varX. Es wird eine neue Zufallvariable gebildet, die eine lineare Transformation von X ist,

Y=a+bX,

wobei a und b reelle Zahlen sind.

Y hat dann den Erwartungswert

EY=a+bEX,

und die Varianz

varY=b^{2}varX.

Speziell: Ist X normalverteilt, ist auch Y normalverteilt mit den obigen Parametern.

Verteilungsparameter mehrerer gemeinsam verteilter Zufallsvariablen

Betrachtet werden p viele Zufallsvariablen X_j (j = 1, ... , p). Man fasst diese Zufallsvariablen im Zufallsvektor x zusammen. Die Erwartungswerte werden im Erwartungswertvektor μ und die Varianzen und Kovarianzen in der Kovarianzmatrix Σ aufgeführt. Es wird ein Zufallsvektor y gebildet, der eine lineare Transformation von x ist,

{\underline {y}}={\underline {a}}+{\underline {B}}{\underline {X}},

wobei a ein q-dimensionaler Spaltenvektor und B eine (qxp)-Matrix (q ≤ p) sind.

y hat dann den Erwartungswertvektor

: ${\underline {\mu }}_{y}={\underline {a}}+{\underline {B}}{\underline {\mu }}$

und die Kovarianzmatrix

{\underline {\Sigma }}_{y}={\underline {B}}{\underline {\Sigma }}{\underline {B}}^{T}

.

Speziell: Ist x p-dimensional normalverteilt, ist y q-dimensional normalverteilt mit den obigen Verteilungsparametern.

Siehe auch

Weblinks