Äquivalenzrelation

In der Mathematik ist eine Äquivalenzrelation eine Beziehung (Relation) zwischen Elementen einer Menge, die bestimmte Eigenschaften der "Gleichheit" verallgemeinert. Das bekannteste Beispiel bilden die rationalen Zahlen: Zwei Brüche a/b und c/d sind äquivalent (repräsentieren dieselbe rationale Zahl), wenn die Gleichung ad = bc gilt.

Definition

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation $R\subset \,M\times M$ auf einer nichtleeren Menge M, welche folgende Bedingungen erfüllt:

• Reflexivität: $\forall a\in M:(a,a)\,\in R$
• Symmetrie: $\forall a,b\in M:(a,b)\in R\,\Rightarrow \,(b,a)\in R$
• Transitivität: $\forall a,b,c\in M:\ (a,b)\in R\,\wedge \,(b,c)\in R\ \Rightarrow (a,c)\in R$

(Es gilt dann $R\neq \emptyset$.)

Für ein Äquivalenzrelation schreibt man üblicherweise $a\sim b$ statt $a\,R\,\,b$ oder $(a,b)\in R$. Die drei Eigenschaften lassen sich dann so aufschreiben:

$\forall a,b,c\in M:a\sim a,(a\sim b\Rightarrow b\sim a),(a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim c)$

Ferner definiert man für eine Äquivalenzrelation $R\,\subset M\times M$ für jedes Element a von M die so genannten Äquivalenzklasse von a in M:

$[a]:=\{b\in M\,|\,a\sim b\}\ \ \forall a\in M$

lies: die Äquivalenzklasse von a ist definiert als die Menge aller b aus M für die gilt, a ist äquivalent zu b

a ist der Repräsentant der Äquivalenzklasse [a]. Die Menge der Äquivalenzklassen ist

$M/\!\sim \ :=[M]:=\{[a]\,|\,a\in M\}\ \ \forall a\in M$

Eigenschaften

• $\forall {a}\in M:\,a\in [a]$
• $\forall {a,b}\in M:\,a\in [b]\ \Rightarrow \ [a]=[b]$
• $\forall {a,b}\in M:\,([a]=[b])\lor ([a]\cap [b]=\emptyset )$

Erläuterung

Durch eine Äquivalenzrelation $\sim$ wird eine Menge in Äquivalenzklassen zerlegt.

Siehe auch Äquivalenz und Partition.

(bitte erweitern)

Beispiele

1. Gleichheit auf beliebiger Menge S
2. Menge Z der ganzen Zahlen, mit a ~ b genau dann, wenn a und b denselben Rest bei Division durch 5 haben
3. Menge M der Schüler auf einer Schule, mit a ~ b genau dann, wenn die Schüler a und b in dieselbe Klasse gehen

Die zugehörigen Äquivalenzklassen sind:

1. die Menge aller einelementigen Teilmengen von S; sie lässt sich umkehrbar eindeutig (bijektiv) auf die Menge S selbst abbilden
2. die Menge {5Z, 5Z+1, ..., 5Z+4}, geschrieben als Z/5Z, ein Restklassenring
3. die Menge, deren Elemente jeweils alle Schüler einer Klasse sind; sie lässt sich eineindeutig auf die Menge aller Klassen der Schule abbilden