Normale Matrix

Eine normale Matrix ist in der linearen Algebra eine Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ mit der Eigenschaft

$A^{H}\cdot A=A\cdot A^{H}$,

also eine Matrix, die mit ihrer konjugiert-transponierten Matrix kommutiert. Für eine reelle Matrix $B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ gilt analog

$B^{T}\cdot B=B\cdot B^{T}$.

Der Spektralsatz besagt, dass eine Matrix $A$ genau dann normal ist, wenn es eine unitäre Matrix $U$ gibt, so dass $A=UDU^{\rm {H}}$, wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist. Normale Matrizen haben also die Eigenschaft, dass sie unitär diagonalisierbar sind. Es existiert also eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A. Die Diagonalelemente von $D$ sind genau die Eigenwerte von $A$. Insbesondere sind jede reelle symmetrische Matrix und jede komplexe hermitesche Matrix normal. Zudem ist jede unitäre Matrix normal.

Beispiele

Die Eigenwerte können komplex sein selbst wenn die Matrix $A$ reell ist, $U$ und $D$ sind also im allgemeinen komplex, wie das Beispiel zeigt:

$A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}\Rightarrow U=1/{\sqrt {2}}{\begin{pmatrix}1&1\\i&-i\\\end{pmatrix}},D={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\\\end{pmatrix}}$

Lediglich für den Spezialfall einer reellen symmetrischen Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},A^{T}=A$ sind die Matrix $U$ und die Eigenwerte (also $D$) stets reell.

Zu beachten ist, dass es Matrizen gibt, die zwar diagonalisierbar aber nicht normal sind. In diesem Fall liegt keine unitäre Diagonalisierbarkeit vor, das heißt es gilt lediglich $A=TDT^{-1}$ wobei $T$ nicht unitär ist, also $T^{-1}\neq T^{\rm {H}}$. Ein Beispiel für eine nicht normale aber diagonalisierbare Matrix ist

$A={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}.$

Normalität und Abweichungen von der Normalität

Die Zerlegung der Matrix $A$ in $UDU^{\rm {H}}$ wird auch die Schur-Zerlegung oder die Schursche Normalform genannt. Grundsätzlich gilt: $UDU^{\rm {H}}=diag\{\lambda _{1},...,\lambda _{n}\}+N$, wobei $N$ eine strikte obere Dreiecksmatrix ist (auf der Diagonalen stehen also nur Nullen) und $\lambda _{1}>\lambda _{2}>...>\lambda _{n}$ die Eigenwerte von $A$ sind. Für normale Matrizen gilt:

$||N||_{S}^{2}=0$

Ist $A$ nicht normal, so bezeichnet man $||N||_{S}=:\delta (A)$ als die Abweichung von der Normalität.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.