Modallogik

Unter Modallogiken versteht man solche (mathematischen) Logiken, die zusätzlich zu den aus der Aussagenlogik bekannten Konstrukten Operatoren enthalten, mit denen man über Modalitäten wie "möglich" und "notwendig" (aletische Logik), "immer (in der Zukunft)" und "manchmal/irgendwann (in der Zukunft)" (temporale Logik) etc. sprechen kann.

So lassen sich nicht nur Sätze wie "morgen wird es regnen" formulieren, sondern auch Sätze wie "möglicherweise wird es morgen regnen, möglicherweise auch nicht".

Die Sprache der unimodalen Modallogik

Die Sprache der unimodalen Modallogik enthält alle aussagenlogischen Formeln sowie zusätzlich alle Formeln der Gestalt $\Box \phi$ ("box phi", phi ist notwendig) und $\Diamond \phi$ ("diamond phi", phi ist möglich) für alle modallogischen Formeln $\phi$.

Dabei kann Box durch Diamond definiert werden und umgekehrt:

• $\Box \phi \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot \phi$ und
• $\Diamond \phi \leftrightarrow \lnot \Box \lnot \phi$

Zwei unmittelbare Folgerungen daraus sind die an die deMorgan'schen Regeln erinnernden Sätze:

"Es ist nicht notwendig, dass X" ist äquivalent zu "Es ist möglich, dass nicht X", und

"Es ist nicht möglich, dass X" ist äquivalent zu "Es ist notwendig, dass nicht X".

Die Kripke-Semantik der unimodalen Modallogik

In der nach Saul Kripke benannten Interpretation der Modallogik betrachtet man alle "logisch möglichen Welten". Ein Kripke-Modell besteht aus einer Menge solcher Welten, einer Zugänglichkeitsrelation zwischen ihnen und einer Interpretation der Aussagenvariablen in jeder einzelnen der Welten.

Die Wahrheit einer Formel in einer möglichen Welt ist dann wie folgt definiert: aussagenlogische Tautologien gelten in allen Welten, eine Formel gilt in einer Welt genau dann, wenn ihre Negation nicht gilt, und eine Formel der Gestalt $\Box \phi$ gilt in einer Welt w genau dann, wenn $\phi$ in jeder von w zugänglichen Welt w' gilt.

Will man die Modallogik gemäß dieser Semantik axiomatisieren, so lässt sich dies durch die Einführung des Axiomenschemas K und der Schlussregel der Nezessisierung realisieren:

Axiomenschema K: $\Box (\phi \rightarrow \psi )\rightarrow (\Box \phi \rightarrow \Box \psi )$.

Nezessisierungsregel: Wenn in allen Welten $\phi$ gilt, so gilt auch in allen Welten $\Box \phi$.

Je nach Anwendung und intendierter Semantik kann man weitere Axiomenschemata hinzufügen, etwa:

1. $\Box \phi \rightarrow \phi$ (T)
2. $\Box \phi \rightarrow \Box \Box \phi$ (4)
3. $\Diamond \phi \rightarrow \Box \Diamond \phi$ (5)
4. $\phi \rightarrow \Box \Diamond \phi$ (B)
5. $\Box \phi \rightarrow \Diamond \phi$ (D)

Diese Schemata entsprechen in der obigen Reihenfolge der Reflexivität, Transitivität, Euklidizität, Symmetrie und Serialität der Zugänglichkeitsrelation.

Eine der am häufigsten verwendeten Modallogiken, S5, basiert auf den Axiomenschemata K, T und 5. Auch andere Kombinationen der erwähnten Axiomanschemata sind sinnvoll und gebräuchlich.