Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. B. in der Linearen Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie bei Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der Unschärferelation.

Allgemeiner Fall

Die Ungleichung sagt aus: Wenn $x$ und $y$ Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. das innere Produkt $\langle x,y\rangle$ die Beziehung

$\langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

Unter Verwendung der Norm $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ ergibt sich daraus

$\langle x,y\rangle ^{2}\leq \|x\|^{2}\cdot \|y\|^{2}.$

Es kann auch auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden. Man erhält, da Normen nicht negativ sind:

$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\cdot \|y\|.$

Beide Seiten sind genau dann gleich, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.

Erst recht gilt

$\langle x,y\rangle \leq \|x\|\cdot \|y\|$

und diese Ungleichung ist wiederum äquivalent zur Ungleichung mit Betragsstrichen: $\left|\langle x,y\rangle \right|=\left|\langle x,\pm y\rangle \right|\leq \|x\|\cdot \|\pm y\|=\|x\|\cdot \|y\|$.

Spezialfälle

Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur:

$\vert \mathrm {Spur} (ab^{*})\vert \leq (\mathrm {Spur} (aa^{*}))^{\frac {1}{2}}(\mathrm {Spur} (bb^{*}))^{\frac {1}{2}}$

Auf euklidische Räume $\mathbb {R} ^{n}$ angewandt, erhält man:

$\left(\sum x_{i}\cdot y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum x_{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum y_{i}^{2}\right)$

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

$\left|\int f(x)\cdot {\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\right)\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{2}\,dx\right)$

Für quadratisch integrierbare Zufallsvariablen erhält man:

$\left(\operatorname {E} (XY)\right)^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (Y^{2})$

Die letzten drei Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Im $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu einer Gleichung verschärfen:

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}$

Geschichte

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz. Bei Cauchy findet sich die Summenform der Ungleichung in seiner Analyse algébrique (1821). Die Integralform der Ungleichung wurde historisch erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 50 Jahre später.

Anwendungen

In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung für $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass durch das innere Produkt eine Norm definiert wird.

Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck $\cos \varphi :={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}}$ der Betrag des Bruches stets kleiner oder gleich eins ist, sodass also $\varphi \;$ wohldefiniert ist und damit der Winkel auf beliebige Räume mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann.

In der Physik wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation verwendet.

Beweis der Ungleichung

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für $i=1,\dots ,n$ die Werte $\xi _{i}:=|x_{i}|/{\sqrt {\sum _{j}x_{j}^{2}}}$ und $\eta _{i}:=|y_{i}|/{\sqrt {\sum _{j}y_{j}^{2}}}$, so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

$\sum _{i}\xi _{i}\eta _{i}=\sum _{i}{\sqrt {\xi _{i}^{2}\eta _{i}^{2}}}\leq \sum _{i}(\xi _{i}^{2}/2+\eta _{i}^{2}/2)=1$

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man $S={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}$ und $T={\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$ sowie $\xi _{i}={\frac {x_{i}}{S}}$ und $\xi _{n+i}={\frac {y_{i}}{T}}$ so gilt

$2=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{2}}{S^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i}^{2}}{T^{2}}}=\sum _{i=1}^{2n}\xi _{i}^{2}.$

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun

$\sum _{i=1}^{2n}\xi _{i}^{2}\geq \xi _{1}\xi _{n+1}+\xi _{2}\xi _{n+2}\dots \xi _{n}\xi _{2n}+\xi _{n+1}\xi _{1}+\xi _{n+2}\xi _{2}+\dots \xi _{2n}\xi _{n}.$

Zusammengefasst erhält man also

$2\geq {\frac {2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{ST}}$

wobei dieses Ergebnis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung entspricht.

Beweis für das Skalarprodukt

Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Spezialfall der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung in euklidischen Räumen. Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt ist nicht schwierig. Die Differenz

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \left|x\right|^{2}\left|y\right|^{2} - \left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}}

kann direkt angegeben werden und führt Im Fall $y\neq 0$ zum Beweis der Ungleichung

$\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq \left|\left|y\right|x-{\frac {\left\langle x,y\right\rangle }{\left|y\right|}}y\right|^{2}+\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}=\left|x\right|^{2}\left|y\right|^{2}$,

aus der die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung durch Wurzelziehen folgt.

Weblinks

• Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung im Beweisarchiv
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: Cauchy-Schwarz inequality.

Literatur

• Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, in: Ders.: Hermann Grassmann, Werk und Wirkung. Internationale Fachtagung anläßlich des 150. Jahrestages des ersten Erscheinens der "linearen Ausdehnungslehre", Universität Greifswald, 1995, S. 64-70