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Fraktal

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Berühmtes Fraktal: die Mandelbrot-Menge

Fraktal (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von Benoit Mandelbrot (1975) geprägter Begriff (lat. fractus: gebrochen, von frangere: brechen, in Stücke zerbrechen), der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

Durch ihren Formenreichtum und dem damit verbundenen ästhetischen Reiz spielen sie in der digitalen Kunst eine gewisse Rolle. Ferner werden sie bei der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen wie beispielsweise realitätsnaher Landschaften eingesetzt.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde eine nicht-ganzzahlige Dimension aufweisen. Sie wird auch als fraktale Dimension bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein:

Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Besikowitsch Dimension größer ist als ihre topologische Dimension.

Besteht ein Fraktal aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien seiner selbst, und ist dieser Verkleinerungsfaktor für alle Kopien der selbe, verwendet man die Ähnlichkeitsdimension

Beispiele

Linie, Quadrat, Koch'sche Schneeflocke etc.

Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien, etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern stochastisch. Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie, die bei einer Vergrößerung oft flacher und flacher und damit einfacher werden (z.B. Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Fraktale Muster werden oft durch rekursive Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.

Pythagoras Baum

Wie zum Beispiel an diesem Pythagoras-Baum zu sehen ist. Ein solcher Baum ist ein Fraktal welches aus Quadraten aufgebaut ist die wie, im Satz des Pythagoras definiert, angeordnet sind.

Ein Fraktal im dreidimensionalen Raum ist der Menger-Schwamm.

Ein weiteres Fraktal ist das Newton-Fraktal:

Datei:FRACT008.GIF

Es wird über das Newton-Verfahren, das zur Nullstellenberechnung verwendet wird, berechnet.

Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen

Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren beinhalten ein rekursives Vorgehen. Mögliche Verfahren sind:

  • Die Iteration von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die Mandelbrot-Menge entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind IFS–Fraktale (Iterierte Funktionensysteme), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen.
  • Dynamische Systeme erzeugen fraktale Gebilde, so genannte seltsame Attraktoren.
  • L-Systeme, die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eigenen sich sehr gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen.

Fraktale, die sich geometrisch konstruieren lassen


Fraktal L-System Winkel Strecken-Verhältnis
Drachenkurve 
F -> R oder F -> L
R -> +R--L+
L -> -R++L-
45°
Gosper-Kurve 
F -> R oder F -> L
R -> R+L++L-R--RR-L+
L -> -R+LL++L+R--R-L
60°
Hilbert-Kurve 
X
X -> -YF+XFX+FY-
Y -> +XF-YFY-FX+
90°
Koch-Kurve 
F
F -> F+F--F+F
60° 1:1/3
Peano-Kurve 
X
X -> XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX
Y -> YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY
90°
Penta Plexity 
F++F++F++F++F
F -> F++F++F|F-F++F
36°
Pfeilspitze 
F -> R oder F -> L
R -> -L+R+L-
L -> +R-L-R+
60° 1:1/2
Sierpinski-Dreieck 
FXF--FF--FF
X -> --FXF++FXF++FXF--
F -> FF
60°
Sierpinski-Teppich 
F
F -> F+F-F-FF-F-F-fF
f -> fff
90°


  • Erklärung des L-Systems:

Das optionale, also nicht notwendige F wird im allgemeinen als Strecke benutzt, die durch eine Anweisungsfolge ersetzt wird. Wie das F meinen auch andere groß geschriebene Buchstaben wie R und L einen Streckenabschnitt, der ersetzt wird. + und - meinen einen bestimmten Winkel, der im Uhrzeigersinn, oder gegen den Uhrzeigersinn läuft. Das Symbol | bezeichnet eine Kehrtwendung des Zeichenstiftes, also eine Drehung um 180°. Gegebenenfalls setzt man dafür ein entsprechendes Vielfaches des Drehwinkels ein.

    • Beispiel Drachenkurve:
F -> R
R -> +R--L+
L -> -R++L-

F ist eine einfache Strecke zwischen zwei Punkten. F -> R heißt, das die Strecke F durch R ersetzt wird. Dieser Schritt ist notwendig, da es zwei rekursive Ersetztungen R und L besitzt, die sich gegenseitig enthalten. Imweiteren wird wie folgt ersetzt: 

R
+R--L+
+(+R--L+)++(-R++L-)+
+(+(+R--L+)--(-R++L-)+)++(-(+R--L+)++(-R++L-)-)+
.
.
.

Ab einem bestimmten Abschnitt muss dieser Ersetzungsprozeß abgebrochen werden, um ein Grafik zu bekommen: 

+(+(+r--l+)--(-r++l-)+)++(-(+r--l+)++(-r++l-)-)+

Wobei r und l jeweils eine fest vorgegebene Strecke darstellen.

Auf das folgende Logo-Programm bezogen: 

Das Äquivalent zu F-> R:

to dragon :stufe :laenge
dcr :stufe :laenge
end

Das Äquivalent zu R -> +R--L+:

to dcr :stufe :laenge
make "stufe :stufe - 1
make "laenge :laenge / 1.41421
if :stufe > 0 [rt 45 dcr :stufe :laenge lt 90 dcl :stufe :laenge rt 45]
if :stufe = 0 [rt 45 fd :laenge lt 90 fd :laenge rt 45]
end

Das Äquivalent zu L -> -R++L-:

to dcl :stufe :laenge
make "stufe :stufe - 1
make "laenge :laenge / 1.41421
if :stufe > 0 [lt 45 dcr :stufe :laenge rt 90 dcl :stufe :laenge lt 45]
if :stufe = 0 [lt 45 fd :laenge rt 90 fd :laenge lt 45]
end

Fraktale Konzepte in der Natur

Romanesco

Fraktale Konzepte finden sich auch in der Natur. Dabei ist jedoch die Anzahl der Stufen von selbstähnlichen Strukturen begrenzt, und beträgt oft nur 3-5. Typische Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei den Farnen.

Weit verbreitet sind fraktale Strukturen ohne strenge sondern mit statistischer Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise Bäume, der Blutkreislauf, Flusssysteme und Küstenlinien. Im Fall der Küstenlinie ergibt sich als Konsequenz die Unmöglichkeit einer exakten Bestimmung der Küstenlänge. Je genauer man die Feinheiten des Küstenverlaufes vermisst, umso größer ist die Länge, die man erhält. Im Falle eines mathematischen Fraktals, wie beispielsweise der Kochkurve, wäre sie unbegrenzt.

Fraktale finden sich auch als Erklärungsmodelle für chemische Reaktionen. Systeme wie die Oszillatoren (Standardbeispiel Belousov-Zhabotinsky-Reaktion) lassen sich einerseits als Prinzipbild verwenden, andererseits aber auch als Fraktale erklären. Ebenso findet man fraktale Strukturen auch im Kristallwachstum und bei der Entstehung von Mischungen, wenn man z.B. einen Tropfen Farblösung in ein Glas Wasser gibt.

Siehe auch

Literatur

Vorlage:Commons2

Computerprogramme

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