Bogenmaß

Das Bogenmaß ist eine Winkelangabe, die besondere Bedeutung in der Mathematik und Physik hat. Normalerweise teilt man den Vollkreis auf, etwa in 360 Teile oder 360° (Grad) und gibt den Winkel dann als Vielfaches der Maßeinheit ° (Grad) an. Bogenmaßangaben verzichten auf eine Einheit. Stattdessen wird die Länge des Bogens angegeben, den ein Winkel auf einem Kreis mit Radius 1, dem Einheitskreis, einschließt. Ein Winkel ist damit vollständig charakterisiert.

Für einen realen Kreis ist das Bogenmaß das Verhältnis der eingeschlossenen Bogenlänge zum Radius r. Ist die Kreisbogenlänge z. B. 0,5 Meter, der Radius 2 Meter, so ist das Bogenmaß 0,5 m / 2 m, also 0,25. Die Längeneinheit Meter kürzt sich heraus, so dass das Bogenmaß ohne Dimension ist.

Ein Bogenmaß von $2\pi$ entspricht genau dem Umfang des Einheitskreises und damit einem Winkel von 360°. Kleinere Winkel im Bogenmaß sind Teile von $2\,\pi$ , etwa $\pi$ für 180° oder $\pi /4$ für 45°. Bei Umrechnungen tritt die Kreiszahl $\pi$ auf:

1° entspricht dem Bogenmaß

2\,\pi

/360 oder ungefähr 0,01745

Eine Bogenmaßangabe von 1 bedeutet, dass Radius und Bogen auf einem Kreis gleich lang sind. Dies ist bei einem Winkel von 180/π° der Fall, also ungefähr

57,29°.

Um deutlich zu machen, dass eine Angabe im Bogenmaß erfolgt, schreibt man als "Einheit" oft arc (von lat. arcus = Bogen) oder rad (von Radiant) hinter die Zahl. Dies sind keine Einheiten im üblichen Sinne. In physikalischen Formeln werden Einheiten kombiniert, etwa Meter pro Sekunde für die Geschwindigkeit aus Meter und Sekunde. arc oder rad darf man hier bei Berechnungen nicht übernehmen.

Winkelgeschwindigkeiten und Bogenmaß

Ohne Bogenmaß ...

Es soll die Geschwindigkeit an der Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr mit einer Länge von fünf Metern berechnet werden. Der Zeiger benötigt für eine Vollumdrehung genau eine Stunde, überstreicht also 360° pro Stunde. Der Kreisumfang beträgt

U=2\,\pi \cdot 5\ \mathrm {m} =31{,}416\ \mathrm {m}

,

die Geschwindigkeit also

v={\frac {U}{t}}={\frac {31{,}416\ \mathrm {m} }{3600\ \mathrm {s} }}=0{,}008727\ \mathrm {\frac {m}{s}}

.. und mit Bogenmaß

Hier wird zunächst die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers bestimmt. Dies ist die Bogenlänge auf dem hypothetischen Einheitskreis pro Zeiteinheit. Das Bogenmaß für eine Vollumdrehung ist $2\,\pi$ , die Zeit wieder eine Stunde oder 3600 Sekunden. Die Winkelgeschwindigkeit ist also

\omega _{\mbox{Minutenzeiger}}={\frac {2\,\pi }{3600\ \mathrm {s} }}={\frac {0{,}00174532\ \mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}

.

Um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten, muss man die Winkelgeschwindigkeit nur noch mit der Länge l/(Dem Radius) multiplizieren:

v=\omega \cdot l={\frac {0{,}00174532}{\mathrm {s} }}\cdot 5\ \mathrm {m} =0{,}008727\ \mathrm {\frac {m}{s}}

.

Die "Einheit" rad wurde künstlich eingefügt, um die Angabe als Bogenmaß deutlich zu machen. Bei der Geschwindigkeitsberechnung fällt sie wieder unter den Tisch, die Einheit der Geschwindigkeit ist m/s, nicht rad mal m/s.

Die Vorteile der Berechnung mit dem Bogenmaß sind

Jeder genau gehende Minutenzeiger überstreicht im Schnitt 0,00174532 rad pro Sekunde. Dies ist eine charakteristische Größe für Minutenzeiger.
Für jeden beliebigen Minutenzeiger muss man nur die Bogenmaßangabe mit der Länge multiplizieren, um die real Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten.

Mathematische Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus können anschaulich dadurch definiert werden, dass man im Einheitskreis einen Zeiger im mathematisch positiven Drehsinn rotieren lässt und die y-Koordinate der Zeigerspitze über der Bogenlänge - dem Bogenmaß - aufträgt. Auf diese Weise lassen sich auch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmen:

\sin 'x=\cos x

\cos 'x=-\sin x

(x muss hier im Bogenmaß angegeben werden.)

Winkel und Bogenmaß

{\begin{matrix}0^{\circ }&=&0\\45^{\circ }&=&{\frac {1}{4}}\pi \\57^{\circ }\,17'\,44''&\approx &1\\90^{\circ }&=&{\frac {1}{2}}\pi \\180^{\circ }&=&\pi \\270^{\circ }&=&{\frac {3}{2}}\pi \\360^{\circ }&=&2\pi \end{matrix}}

Umrechnung

Von Grad nach Bogenmaß:

{\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}\cdot \pi }{180}}

Von Bogenmaß nach Grad:

{\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}\cdot 180}{\pi }}

Fläche und Bogenmaß

Alternativ lässt sich das Bogenmaß auch als die doppeltdes entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis interpretieren. Beispielsweise entspricht einem Viertelkreis, also einem Winkel von ${\frac {\pi }{2}}$ im Bogenmaß, eine Fläche von $A={\frac {\pi }{4}}$ . Siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Taschenrechner und Computer

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise im Bogenmaß. Dazu muss der Modus rad gewählt werden.

In mathematischen Bibliotheken für Computerprogramme verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden.

Weblinks