Riemannsche Geometrie

Bernhard Riemann

Die Riemann'sche Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie und wurde nach Bernhard Riemann benannt. In dieser Theorie werden die geometrischen Eigenschaften einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit untersucht. Dies sind glatte Mannigfaltigkeit mit einer Art Skalarprodukt. Mit Hilfe dieser Funktion kann man Winkel, Längen und Volumen messen.

Entstehung

Die ersten Arbeiten der Differentialgeometrie gehen auf Carl Friedrich Gauß zurück. Er begründete die Theorie der gekrümmten Flächen, welche im dreidimensionalen Raum eingebettet waren. Die Rieman'sche Geometrie erhielt ihren entscheidenden Anstoß 1854 in Riemanns Habitilationsvortrag mit dem Titel "Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen". In dieser Arbeit führte er die Riemann'sche Metriken ein, welche später nach ihm benannt wurden. Im Gegensatz zu Gauß betrachtete er nicht nur Flächen, sondern höherdimensionale, gekrümmte Räume. Diese Räume waren jedoch immer noch in einen Euklidi'schen Raum eingebettet. Die abstrakte Definition von differenzierbaren und damit insbesondere von Riemann'schen Mannigfaltigkeiten wurde erst in den 1930er Jahren von Hassler Whitney entwickelt. Besonders bekannt ist die Aussage, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann. Dieses Resultat ist heute unter dem Namen Einbettungssatz von Whitney bekannt.

Albert Einstein machte sich Riemanns Theorie zu nutze und entwickelte die pseudo Riemann'schen Mannigfaltigkeiten, welche eine grundlegende Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie spielen.

Wichtige Objekte und Aussagen

Das zentrale Objekt der Riemann'schen Geometrie ist die Riemann'sche Mannigfaltigkeit. Dies ist eine glatte Mannigfaltigkeit $M$ zusammen mit einer Abbildung $g:TM\times TM\to C^{\infty }(M)$, welche an jedem festen Punkt $p\in M$ eine positiv definitive, symmetrische Bilinearform

$g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$

ist. Mit Hilfe dieser Riemann'schen Metrik erhält man wie in üblichen Vektorräumen mit Skalarprodukt die Begriffe der Bogenlänge, des Abstands und des Winkels. Ein weiteres durch die Riemann'sche Metrik induziertes Objekt ist die Riemann'sche Volumenform. Diese ermöglicht es Volumen auf Mannigfaltigkeiten zu messen und ist deshalb zentraler Bestandteil der Integrationstheorie auf orientierten Riemann'schen Mannigfaltigkeiten.

Da auf Riemann'schen Mannigfaltigkeiten ein Abstand induziert wird, kann man auch das Konzept der Vollständigkeit übertragen. Der Satz von Hopf-Rinow ist dabei zentral. Er besagt unter anderem, dass die verallgemeinerte (geodätsche) Vollständigkeit auf der Mannigfaltigkeit äquivalent zur Vollständigkeit als metrischer Raum ist. Eine andere wichtige Aussage ist der Einbettungssatz von Nash. Analog zum Einbettungssatz von Whitney sagt er, dass man jede Riemann'sche Mannigfaltigkeit in den $\mathbb {R} ^{n}$ einbetten kann. Jedoch im Vergleich zum Einbettungssatz von Whitney macht er eine stärkere Aussage, denn er besagt weiter, dass die Einbettung Abstände und Winkel erhält. Einbettung heißt hier, dass die Mannigfaltigkeit als Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ verstanden werden kann.

Neben den metrischen Eigenschaften interessiert man sich in der Riemann'schen Geometrie für Krümmungsgrößen. In der Theorie der Flächen wurde schon vor Riemanns Arbeiten die Gaußkrümmung untersucht. Bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten ist die Untersuchung der Krümmung komplexer. Zu diesem Zweck wurde der Riemann'sche Krümmungstensor eingeführt. Zusammenhänge zwischen Vektorbündeln spielen ebenfalls eine wichtige Rolle in der Krümmungstheorie. Auf Riemann'schen Mannigfaltigkeiten gibt es einen eindeutigen Zusammenhang, welcher torsionsfrei und mit der Riemann'schen Metrik verträglich ist. Diese Aussage wird oftmals als Hauptsatz der Riemann'schen Geometrie bezeichnet und der entsprechende Zusammenhang heißt Levi-Civita-Zusammenhang.

Literatur

• P. Petersen: Riemannian geometry, Second Edition, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-29403-1

Weblinks

• Bernhard Riemann: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Inauguralvorlesung, Thema von Carl Friedrich Gauß vorgeschlagen