Keplersche Gesetze

Grafische Zusammenfassung der drei Keplergesetze:
1. Zwei ellipsenförmige Umlaufbahnen (Orbitale), Brennpunkte ƒ₁ und ƒ₂ für den Planet 1, ƒ₁ und ƒ₃ für den Planet 2, die Sonne (sun) in ƒ₁; große Halbachsen a₁ und a₂
2. Die beiden grauen Sektoren A1 und A2, die in derselben Zeit überstrichen werden, haben diesselbe Fläche
3. Die Gesamtumlaufzeiten der Planeten 1 und 2 verhalten sich wie a₁^3/2:a₂^3/2

Die drei keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes Kepler benannt. Er fand diese fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik brachte und die Abweichungen des Mars von einer Kreisbahn mathematisch analysierte. Die Sätze beschreiben die Bewegung idealer Himmelskörper.

1. Kepler-Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen in deren gemeinsamer Brennpunkt die Sonne steht.

2. Kepler-Gesetz

Ein von der Sonne zum Planeten gezogener "Fahrstrahl" überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

3. Kepler-Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen(Kuben) der großen Bahnhalbachsen.

Grundlegende Bedeutung in der Astronomie

Die beiden ersten Kepler-Gesetze stellen die exakte Lösung eines idealisierten Zweikörperproblems, beschrieben durch die Keplergleichung, dar. Sie gelten exakt für alle Zweiersysteme, wenn

• die Körper Massepunkte sind
• die Gravitation nur von einem Körper ausgeht
• nichtgravitative Kräfte zu vernachlässigen sind und
• angenommen wird, dass sich die Gravitationswirkung unendlich schnell ausbreitet. Letzteres steht in Widerspruch zur Relativitätstheorie, der zufolge sich Gravitationskräfte nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Bisher gibt es dafür keine experimentelle Bestätigung.

Das dritte Gesetz stellt einen Ansatz für die Lösung ebenso idealisierter Mehrkörperprobleme dar: Ist die Lösung für einen der Körper gefunden, erhält man auch Teile der Lösungen der anderen.

Obwohl die drei Gesetze die Bewegung nur in einem System jeweils zweier Himmelskörper exakt beschreiben (Bewegungsgleichung des in Potentialtheorie idealisierten Zweikörpersystems), sind sie generell eine gute Näherung für die Wirklichkeit, und die auf ihnen beruhenden jeweils sechs Bahnelemente die Grundlage jeder Bahnbestimmung. Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen werden Bahnstörungen genannt.

Geschichte

Datei:DPAG 2009 Europa Keplersche Gesetze.jpg

400 Jahre Keplersche Gesetze, Sondermarke von 2009

Kepler formulierte die Geometrie und Kinematik der Planetenbahnen in drei Gesetzen, von denen er die beiden ersten relativ rasch fand (Astronomia Nova, „Neue Astronomie“, 1609). Die Suche nach dem dritten dauerte hingegen – einschließlich mehrerer Irrwege über Korbbögen – ein Jahrzehnt, er fand es Mitte 1618 (Harmonices Mundi, ‚Weltharmonik‘, publiziert 1619). Dabei kamen ihm Überlegungen zu Hilfe, die heute als anthropisches Prinzip bezeichnet werden, und vermutlich auch die in der Musik zu findende Harmonik. Eine wichtige Grundlage für Kepler waren die Beobachtungen von Tycho Brahe und seine eigenen als Tychos Assistent, und die als Rudolfinische Tafeln die Datenbasis bildeten, an der Kepler sein Modell testete. Das vorzügliche in Prag erstellte Beobachtungsmaterial von Brahe und Kepler vom Planeten Mars war insbesondere für die beiden ersten Gesetze (Ellipsen- und Flächensatz) bedeutsam.

Ein anderes in diesem Kontext von Kepler aufgestelltes Gesetz über die wirkende Kraft, die Anima motrix, hat sich als nicht zutreffend erwiesen. Die keplerschen Planetengesetze wurden später von Newton in den allgemeineren Zusammenhang seines Gravitationsgesetzes gestellt.

Problematik der Mehrkörpersysteme

Schon wenn zwei Körper sich umkreisen, wirkt auch eine Gravitation vom kleinen zum größen Körper: Daher bewegt sich auch dieser, und steht nicht im Brennpunkt der Ellipse, beide umkreisen das Baryzentrum (Massezentrum) des Systems (Unzulänglichkeit des heliozentrischen Weltbilds: Die Sonne steht nicht im „Mittelpunkt“ des Sonnensystems).

Wenn drei oder mehr Körper sich gegenseitig umkreisen, kommt es zu weiteren Bahnstörungen der gravitiven Einflüsse untereinander, für die jedoch Keplers Gesetze und Bahnelemente ein bis heute verwendetes Bezugsystem darstellen (oskulierende Ellipsen, eine temporär angenäherte Lösung). Sind zahlreiche Körper gravitativ aneinander gebunden, gelten die Gesetze nur im Außenraum, weil jede umhüllende, mit Masse erfüllte Schale auf den Innenraum schwerelos bleibt. Innen können sogar chaotische, also langfristig hochgradig instabile Zustände herrschen. Daher weicht z. B. die Bewegung der Fixsterne um das galaktische Zentrum merklich vom zweiten und dritten Keplergesetz ab, und auch das Sonnensystem ist kein bis in alle Ewigkeit stabiles keplersches System (wie die Überschneidung der Uranus- und Plutobahn zeigt).

Heliozentrische und fundamentale Formulierung der Gesetze

Kepler formulierte das Gesetz für die Planeten, die ihm bekannt waren. Für die Gesetze gilt aber das kosmologische Prinzip, nachdem sie überall im Universum gültig seien.

Der heliozentrische Fall unseres Sonnensystems ist aber der – für uns – weitaus bedeutendste, daher sind sie in der Literatur häufig einschränkend nur für Planeten formuliert. Sie gelten natürlich auch für Monde, den Asteroidengürtel und die Oortsche Wolke, oder die Ringe des Jupiter und Saturn, Sternhaufen wie auch für Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einer Galaxie, und alle anderen Objekte im Weltall. Außerdem bilden sie die Basis der Raumfahrt und der Bahnen der Satelliten.

In kosmischem Maßstab beginnen sich aber die relativistischen Effekte zunehmend auszuwirken, und die Differenzen zum keplerschen Modell dienen primär als Prüfkriterium an modernere Konzepte über Astrophysik. Die Formungsmechanismen in Spiralgalaxien etwa lassen sich mit einem rein auf den Keplergesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.

Herleitung und moderne Darstellung

Die Keplergesetze können elegant direkt aus der newtonschen Theorie der Bewegungen abgeleitet werden. Der 2. Satz ist eine geometrische Deutung des Drehimpulssatzes, der 1. Satz folgt aus der clairautschen Gleichung, die eine vollständige Lösung einer Bewegung in rotationssymetrischen Kraftfeldern beschreibt, und mittels Integration, der Keplergleichung und der gaußschen Konstante folgt der 3. Satz aus dem zweiten, oder mittels des Hodographen direkt aus Newtons Gesetzen.

In diesem Sinne sind sie keine physikalischen (Grund-)Gesetze, sondern Sätze über die Bewegung im Gravitationsfeld.

Erstes keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Erstes keplersches Gesetz

Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.

Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz, sofern die Masse des Zentralkörpers wesentlich größer als die der Trabanten ist und die Wechselwirkung des Trabanten auf den Zentralkörper vernachlässigt werden kann.

Modern formuliert lautet der Satz:

• Einen Massenpunkt ${\text{M}}$ der Masse $M$ im Ursprung $(0,0)$ umgibt ein rotationssymetrisches Zentralkraftfeld, das Potential im Abstand $r$ ist $\Phi (r)=-{\frac {A}{r}}$
• Ein zweiter Massenpunkt ${\text{m}}$ der Masse $m$ ist im Ort $\mathbf {r} =(r,\varphi )$ (in Polarkoordinaten), $\mathbf {r}$ ist sein Radiusvektor von $M$ aus, $\mathbf {\dot {r}}$ seine Geschwindigkeit (Ableitung nach der Zeit in physikalischer Schreibweise)
• Die Anziehungskraft, die durch ${\text{M}}$ auf ${\text{m}}$ wirkt, ist $\mathbf {F} =-Amr^{-2}{\mathbf {r} }/r$. Dabei gilt $A=G\cdot M$ (mit Gravitationskonstante $G$).
• Die Energie pro Masseneinheit (spezifische Energie) des Massenpunktes $E_{\text{m}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {r}} ^{2}+\Phi (r)$ ergibt sich aus $E_{\text{m}}\cdot m=\left(E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}\right)$ mit der kinetischen und potentiellen Energie
• Der Bahnnormalenvektor $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}}$ (die Bahn ist die Trajektorie des Massenpunkts ${\text{m}}$ im Kraftfeld) steht normal auf dem Hodographen (also Orts- und Geschwindigkeitsvektor). Der Bahndrehimpuls ist $L=\left|\mathbf {L} \right|$; außerdem gilt $\mathbf {L} \neq 0$ (→ 2. Keplergesetz)

Es gilt (als Lösung der Clairautschen Gleichung):

$r(\varphi )={\frac {p}{1+e\cdot \cos \varphi }}$ mit $p={\frac {L^{2}}{A}}$ und $e={\sqrt {1+{\frac {2E_{\text{m}}L^{2}}{A^{2}}}}}$ … die Bewegungsgleichung von ${\text{m}}$ (zeitfreie Darstellung)

Diese Lösung ist allein von spezifischer Energie und Bahndrehimpuls abhängig, und $p$, der Parameter, und $e$, die (numerische) Exzentrizität, sind die grundlegenden Gestaltelemente der Bahn. Für den Fall $0<e<1\,(E_{m}<0)$ ⁽¹⁾ gilt:

$r(\varphi )\in \mathrm {Ellipse}$ … 1. Keplergesetz

Zwei Körper kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt – hier idealisierte Kreisbahnen, als Spezialform der Ellpise

Die Bahn beschreibt eine Ellipse mit den Brennpunkten $(0,0)$ und $(-{\frac {2ep}{1-e^{2}}},0)$, der numerischen Exzentrizität $e$ und einer großen Halbachse $a=-{\frac {A}{2E_{\text{m}}}}$, die Hauptscheitel liegen in $(0,{\frac {p}{1+e}})$ (Perizentrum, Perizentrumsdistanz $r_{min}$) und $(0,-{\frac {p}{1-e}})$ (Apozentrum, Apozentrumsdistanz $r_{max}$).
Das Gesetz trifft also eine Aussage über die geometrische Form einer Bahn, und dient zur Festlegung ihrer Gestaltelemente (Halbachse/Exzentrizität).

Legt man kein zentralsymmetrisches Kraftfeld zugrunde, wie Kepler, sondern aufeinanderwirkende Graviation, bilden sich ebenfalls Ellipsenbahnen, es bewegen sich aber beide Körper, das Zentrum der Umlaufbahnen ist der gemeinsame Schwerpunkt von „Zentralkörper“ und Trabant, als fiktive Zentralmasse ist die Gesamtmasse des Systems anzunehmen. Der gemeinsame Schwerpunkt der Sonnensystemplaneten und der Sonne (das Baryzentrum des Sonnensystems) liegt jedoch noch innerhalb der Sonne: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern schwingt ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten (Länge der Sonne ≠ 0). Das Erde-Mond-System aber zeigt große Schwankungen, was die Bahngeometrie betrifft, auch hier liegt der Systemschwerpunkt noch innerhalb der Erde. Satelliten reagieren sogar auf Schwankungen im durch die Erdgestalt unregelmäßigen Kraftfeld.

 

Das ist die Lösung, die der erste keplersche Satz anbietet. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung sind Kegelschnitte, die Keplerbahnen. Dies sind im Falle geschlossener Bahnen Ellipsen. Ein Körper, der nicht gravitativ an das Schwerezentrum gebunden ist, also eine zu hohe Geschwindigkeit besitzt, um eine geschlossene Bahn zu bilden, durchläuft das Feld auf einer parabolischen oder hyperbolischen Bahn und verlässt es anschließend wieder ($E_{m}=0,\,e=1$ → Parabel, $E_{m}>0,\,e>1$ → Hyperbel). Als Sonderfall existiert noch eine Lösung für $\mathbf {L} =0;e=0$, in der die Masse auf einer Geraden auf das Zentrum zustürzt (Freier Fall).

Zweites keplersches Gesetz (Flächensatz)

Zweites keplersches Gesetz

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl Objekt – Schwerezentrum gleiche Flächen.

Unter dem Fahrstrahl versteht man die Verbindungslinie zwischen dem Schwerpunkt eines Himmelskörpers, z. B. eines Planeten oder Mondes, und dem Gravizentrum, z. B. in erster Näherung der Sonne respektive des Planeten, um welches er sich bewegt.

Die Herleitung ergibt sich aus dem oben eingeführten Kraftfeld, und der Darstellung der Bewegungsgleichung als allgemeines physikalisches Differentialgleichungssystem:

• Im Zentralkraftfeld mit dem Potential $U$ mit $\Phi (r)=-{\frac {A}{r}}$ gilt ein Kraftgesetz $\mathbf {K} (\mathbf {r} )=mf(r)\mathbf {r} =-m\operatorname {grad} U(r)$ mit dem Gradient des Potentials und der Kraft $f(r)=-{\frac {A}{r^{3}}}$
• und es gilt $U(r)=-\int _{c}^{r}uf(u)\operatorname {d} u$, und nach dem newtonschen Lex 1 $m\mathbf {\ddot {r}} =\mathbf {K} (\mathbf {r} )=-{\frac {Am}{r^{2}}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{r}}$ ($A=G\cdot M$, vgl. oben beim 1. Gesetz), also $\mathbf {\ddot {r}} =f(r)\mathbf {r} =-\operatorname {grad} U(r)$

hieraus erhält man ein System von 6 gewöhnlichen Differentialgleichungen (mit $\mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}}$ als Geschwindigkeitsvektor)

${\begin{aligned}&\mathbf {\dot {r}} =\mathbf {v} \\&\mathbf {\dot {v}} =f(r)\mathbf {r} \end{aligned}}$

• das ist ein klassisches mechanisches System, hierbei gilt für den Gesamtdrehimpuls $I$, dass er konstant ist: $\mathbf {\dot {I}} =\mathbf {r} \times \mathbf {K} (\mathbf {r} )=m\mathbf {r} \times f(r)\mathbf {r} =0$
• also gibt es einen Vektor $\mathbf {L}$, für den gilt:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}} =\mathrm {const.}$ … 2. Keplergesetz, Formulierung über den Bahnnormalenvektor

• weil $\mathbf {\dot {L}} =\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {\dot {r}} +\mathbf {r} \times \mathbf {\ddot {r}} =\mathbf {r} \times \mathbf {\ddot {r}} =\mathbf {r} \times f(r)\mathbf {r} =0$
• aufgrund des Kreuzproduktes steht $\mathbf {L}$ sowohl normal auf den Bahnradius, wie auf dessen zeitliche Änderung, den Bewegungsvektor selbst, daher Bahnnormalenvektor

Dieses ist die eigentliche, fundamentalere Aussage des 2. Keplergesetzes (die Kepler als axiomatisch vorausgesetzt hat): Es gibt einen konstanten Normalvektor, und daher eine fest im Raum liegende Ebene, in der sich der Punkt bewegt, eine Bahnebene. Auch der Schweremittelpunkt liegt in diese Ebene.
Außerdem besagt es, dass Radius eines Bahnpunkts und Geschwindigkeit in diesem Punkt indirekt proportional voneinander abhängen, und ihr Produkt konstant ist.

• $L=\left|\mathbf {L} \right|=\mathrm {const.}$ ist der Bahndrehimpuls; außerdem gilt $\mathbf {L} \neq 0$, falls $|\mathbf {r} |,\,|\mathbf {\ddot {r}} |\neq 0$, was vorausgesetzt ist: das Objekt befindet sich weder im Schwerezentrum, noch in Ruhe

Als „Flächensatz“ lässt er sich folgendermaßen deuten:

• sei ${\dot {F}}(t)={\frac {1}{2}}L$, dann ist $F(t)={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t}|\mathbf {r} (s)\times \mathbf {\dot {r}} (s)|\operatorname {d} s$ über den Weg $s$ in der Bahnebene, und stellt die vom Bahnvektor $\mathbf {r}$ überstrichene Fläche dar
• es gilt $F(t)={\frac {1}{2}}L(t-{t_{0}})$, und zwar unabhängig von $\mathbf {r}$ und insbesondere $\mathbf {r} ({t_{0}})$ zum Startzeitpunkt, und für gleiche Integrationsintervalle $\Delta t=[t_{0,1},t]$ erhält man dasselbe $F(t)$, also diesselbe überstrichene Fläche:

$F(t)=\mathrm {const.} \,$ … 2. Keplergesetz, geometrische Formulierung

Das zweite Keplergesetz definiert also sowohl die geometrische Grundlage einer astrometrischen Bahn als Ebene, als auch deren Bahndynamik (das zeitliche Verhalten). Kepler formulierte das Gesetz nur für den Umlauf der Planeten um die Sonne, es gilt aber auch auf nicht geschlossenen Bahnen. Physikalisch gesehen ist das zweite Keplergesetz ein Beispiel für den Drehimpulserhaltungssatz.

Die Konstanz des Bahnnormalenvektor besagt, dass elementare Himmelsmechanik eine ebenes Problem ist. Tatsächlich ergeben sich auch hier Abweichungen durch die Volumina der Himmelskörper, sodass Masse außerhalb der Bahnebene liegt, und die Bahnebenen präzedieren, verändern ihre Lage im Raum. Daher liegen die Bahnen der Planeten nicht alle in einer Ebene (der idealen Sonnensystemebene, der Ekliptik), sie zeigen Periheldrehung, und es schwankt auch die ekliptikale Breite der Sonne. Umgekehrt ist es etwa – verhältnismäßig – leicht, einen Raumflugkörper in der Sonnensystemebene zu bewegen, aber enorm aufwändig, etwa eine Sonde über dem Nordpol der Sonne zu platzieren.

Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Planet bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an der Sonne befindet, und umso langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist, desgleichen der Mond um die Erde, oder ein Satellit um die Erde. Eine Bahn stellt sich als dauerndes freies Fallen, nahes Vorbeischwingen um den Schwerpunkt, und Wiederaufsteigen zum fernsten Kulminationspunkt einer Bahn dar: Er wird immer schneller, hat im Perizentrum (zentrumsnächsten Punkt) die höchste Geschwindigkeit, und wird ab dann immer langsamer bis zum Apozentrum (zentrumsfernsten Punkt), ab wo er wieder beschleungt.

Drittes keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten $T_{1}$ und $T_{2}$ je zweier Trabanten um ein gemeinsames Zentrum sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen $a_{1}$ und $a_{2}$ ihrer Ellipsenbahnen.

oder

Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen Verhältnis wie die Kuben der großen Halbachsen:

$\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}$ … 3. Keplergesetz

Kepler verwendete für die Bahnachsen a die mittlere Entfernung von der Sonne (im Sinne des Mittels von Periheldistanz und Apheldistanz).

$C={\frac {T^{2}}{a^{3}}}$ … 3. Keplergesetz, massenunabhängige Formulierung mit Kepler-Konstante der Zentralmasse (Gaußsche Gravitationskonstante des Sonnensystems)

In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält das dritte keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen M und m die Form:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}\approx {\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3}$ … 3. Keplergesetz, Formulierung mit zwei Massen

wobei die Näherung gilt, wenn Masse m vernachlässigbar klein im Vergleich zu M ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von Doppelsternsystemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper und obige Formel, so lautet eine exaktere Formulierung des dritten keplerschen Gesetzes:

$\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}{\frac {M+m_{2}}{M+m_{1}}}$ … 3. Keplergesetz, Formulierung mit drei Massen

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Trabanten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse M hat, die von der eines der beiden Trabanten nicht stark abweicht.

Siehe auch

• Ekliptik („Bahn der Sonne“), Erdbahn, Mondbahn
• Hohmannbahn, die Verbindungsbahn zweier Keplerbahnen der Raumfahrt

Literatur

• Johannes Kepler: Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. Band 3. C. H. Beck, München 1938. 
• Johannes Kepler: Harmonices Mundi libri V. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. Band 6. C. H. Beck, München 1940/1990, ISBN 3-406-01648-0. 
• Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4. 

Weblinks

• 

  Commons: Keplersche Gesetze – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
• Walter Fendt: Erstes Keplersches Gesetz, Zweites Keplersches Gesetz (Java-Applets)
• Weltbilder – Kepler Gesetze. In: LEIFI. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen, Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)
• Joachim Hoffmüller: Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz): Beweis mit dynamischen Arbeitsblättern selbst nachvollziehen Geometrisch-anschaulicher Beweis nach Newton, ohne höhere Mathematik (Java-Applet)