Benutzer:Hederich/Zuordnung(mathematik)

 

Eine Funktion, auch Abbildung genannt, ordnet mathematischen Objekten mathematische Objekte zu. Ordnet sie dem Objekt $\,^{x}$ das Objekt $\,^{y}$ zu, dann sagt man: das geordnete Paar $\,^{(x,y)}$ ist ein Element der Funktion, sieht also Funktionen als Klassen geordneter Paare an, aber auch jede Klasse geordneter Paar als Funktion. (In der Literatur finden sich oft Definitionen eingeschränkter Funktions-Begriffe, zum Beispiel werden nur solche Klassen geordneter Paare als Funktionen angesehen, die Mengen sind und/oder nur solche, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthalten.)

Definitionen

Die Klasse der linken und die der rechten Komponenten der Elemente einer Funktion, $\,^{f}$, nennt man ihren Domain bzw. Codomain und bezeichnet sie mit  $\,^{^{\text{D}}\!f}$  bzw.  $\,^{^{\text{C}}\!f}$.  Diejenige Zuordnung, die aus $\,^{f}$ durch vertauschen der Komponenten in ihren Elementen hervorgeht, nennt man Inverse von $\,^{f}$ und bezeichnet sie mit  “$\,^{f^{-1}}$”.

Quelle

Zuordnungs-Klassifizierung:  eindeutige - , eineindeutige/injektive - , partielle - , surjektive - , bijektive, - mehstellige Zuordnung

Eine Zuordnung, Z, heißt eindeutig, wenn sie keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält. Ist Z eine eindeutige Zuordnung und u ein Element in Dom(Z), dann heißt die rechte Komponente desjenigen Elementes von Z, dessen linke Komponente u ist  Bild von u unter Z; es wird mit Z(u) bezeichnet. Eine Zuordnung heißt eineindeutig oder injektiv, wenn sie und ihre Inverse eindeutig sind. Eine Zuordnungen, deren Domain gleich einer Objektklasse A und deren Codomain Teilklasse oder gleich einer Objektklasse B ist, nennt man Zuordnung von A nach B;  ist ihr Domain eine echte Teilklasse von A, dann nennt man sie partiell; ist ihr Codomein gleich B, dann nennt man sie surjektiv, ist sie sowohl surjektiv als auch injektiv, dann nennt man sie bijektiv. Sind für n>1 alle Elemente im Domain einer Zuordnung, Z, n-Tupel, dann nennt man sie n-stellig und schreibt, wenn sie eindeutig ist, für Z((x₁, . . . x_n)) auch Z(x₁, . . . x_n).

Die formale Wiedergabe dieser Klassifizierung erfolgt in der Literatur nicht einheitlich. Eine, die alle genannten Zuordnungs-Klassen unterscheidet, schreibt die Aussage  ‘’Z ist eine Zuordnung von A nach B‘’  formal so:  ‘’Z : (A $^{\Rightarrow }$ B)‘’,  setzt, wenn sie partriell ist, über den Pfeil den Buchstaben ‘’p‘’, wenn sie surjektiv ist, den Buchstaben ‘’s‘’ und verwendet für eindeutige und eineindeutige Zuordnungen den Pfeil ‘’$^{\rightarrow }$‘’ respektive ‘’$^{\leftrightarrow }$‘’ anstelle ‘’$^{\Rightarrow }$‘’. Ferner verzichtet sie auf die Angabe der Allobjektklasse vor und/oder hinter dem Pfeil. Die entsprechenden formalen Aussagen für Funktionen erfolgen ohne Klammern.

Beispiele

•   $P:=\{(x,y)\,|\,x{\text{ ist eine Menge und }}y{\text{ die Menge der Teilmengen von }}x\}$  (PotenzmengenOperator)
  

$P\!:({\stackrel {\;{\text{s}}}{\leftrightarrow }}{\text{ Klasse der saturierten Mengen}})$  (Eine Menge heißt saturiert, wenn sie mit jedem ihrer Elemente auch dessen Teilmengen enthält),    $P^{-1}\!:({\stackrel {\,{\text{ps}}}{\leftrightarrow }})$

•   $k:=\{(n,m)\,|\,n,m\in \mathbb {Z} \;\wedge \,m<n\}$  (KleinerRelation),    $k\!:\mathbb {Z} \,{\stackrel {\text{s}}{\Rightarrow }}\,\mathbb {Z}$,    $k^{-1}\!:\mathbb {Z} \,{\stackrel {\text{s}}{\Rightarrow }}\,\mathbb {Z}$
  

•   $f\!:\mathbb {N} \rightarrow$    ( f ist eine unendliche Folge von Mengen)
  

•   $D:=\{(x,n)\,|\,x\in \mathbb {R} {\text{ und }}n=1,{\text{ wenn }}x{\text{ rational ist, andernfalls }}n=0\}$  (DirichletFunktion),    $D\!:\mathbb {R} \,{\stackrel {\text{s}}{\rightarrow }}\{0,1\}$,    $D^{-1}\!:\{0,1\}\,{\stackrel {\text{s}}{\Rightarrow }}\mathbb {R}$
  

•   $\sin \!:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$,    $\arcsin \!:\mathbb {R} {\stackrel {\text{ps}}{\Rightarrow }}\mathbb {R}$
  

Funktionstripel

Ein Funktionstripel ist ein Tripel (f,A,B) - bei manchen Autoren (A,B,f) - wobei A und B Mengen sind und f : A $\Rightarrow$ B. f nennt man den Graphen des Funktionstripels.  Wie die Funktionen sind auch Funktionstripel klassifiziert: Zum Beispiel heißt das Funktionstripel (f,A,B) partiell bijektiv, wenn f : A $^{\stackrel {\text{ps}}{\leftrightarrow }}$ B.

Obgleich Funktionstripel keine Funktionen sind, werden sie in der Literatur manchmal als solche bezeichnet, wenn aus dem betreffenden Kontext hervorgeht wie es gemeint ist.