Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ist folgendermassen definiert:

Definition Sei $K:=\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$. Ein $K$-Vektorraum $E$, der zugleich topologischer Raum ist, heisst topologischer Vektorraum, wenn Topologie und lineare Struktur im folgenden Sinne verträglich sind:
1. Die Addition $E\times E\to E$ ist stetig,
2. Die Skalarmultiplikation $K\times E\to E$ ist stetig.

Bemerkung: Manchmal wird auch zusätzlich gefordert, dass E ein Hausdorff Raum ist.