Nullfolge

In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten reellen Zahl und einer Nullfollge dargestellt werden.

Zum Beispiel ist die Folge $(2^{-n})_{n\in \mathbb {N} }$ in den reellen Zahlen eine Nullfolge.

Beispiele

Eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge, falls z. B.

• $a_{n}={\frac {1}{n}}$,

• $a_{n}={\frac {1}{2n}}$,

• $a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ oder

• $a_{n}=(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$.

Verallgemeinerung

Sei $(G,+,d)$ eine topologische Gruppe, d. h. eine Gruppe, die mit einer Metrik so ausgestattet ist, dass die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind (z. B. die additive Gruppe in einem bewerteten Körper oder normierten Vektorraum).

Eine Folge in $G$ heißt dann Nullfolge, wenn sie gegen das neutrale Element konvergiert.

Die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, hängt natürlich von der Metrik ab: Die oben als Beispiel angegebene Folge ist auch in $\mathbb {Q}$ eine Nullfolge bezüglich der üblichen Betragsmetrik, jedoch divergiert sie sogar bezüglich dem 2-adischen Betrag auf $\mathbb {Q}$.

Eine Folge in einem normierten Vektorraum ist genau dann eine Nullfolge bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, wenn die Folge der Normen eine Nullfolge in $\mathbb {R}$ ist.

Weblinks

• Nullfolgen auf www.mathematik.net