Formelsammlung Geometrie

Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Geometrie in der Ebene

Winkel

Nebenwinkel

Nebenwinkel betragen zusammen immer 180°.

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Stufenwinkel

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.

Wechselwinkel

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.

Außenwinkel

Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Winkelsummen

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180°

Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360°

Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)*180°

Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

1. drei Seiten (sss)
2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
4. zwei Winkel übereinstimmen

Viereck

• Quadrat Umfang:

$U=4\cdot a$

• Quadrat Fläche:

$A=a^{2}$

• Diagonale im Quadrat:

$d=a\cdot {\sqrt {2}}$

• Rechteck Umfang:

$U=2\cdot a+2\cdot b$

• Rechteck Fläche:

$A=a\cdot b$

• Diagonale im Rechteck:

$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

• Raute Umfang:

$U=4\cdot a$

• Raute Fläche:

$A={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot f$

• Diagonalen in der Raute:

$e^{2}+f^{2}=4\cdot a^{2}$

• Parallelogramm Umfang:

$U=2\cdot (a+b)$

• Parallelogramm Fläche:

$A=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}$

• Trapez Umfang:

$U=a+b+c+d$

• Trapez Fläche:

$A=m\cdot h$

$m={\frac {1}{2}}(a+b)$

Kreis, Kreisteile

Kreisumfang $U=2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d$ Kreisfläche $A=2\cdot \pi \cdot r^{2}$

Länge eines Kreisbogens $b=2\cdot \pi \cdot r\cdot {\alpha \over 360^{\circ }}$ Fläche eines Kreisausschnittes (Sektor) $A=\pi \cdot r^{2}\cdot {\alpha \over 360^{\circ }}$

Fläche eines Kreisabschnittes (Segment) $A={{r^{2}} \over {2}}\cdot \left({{{\pi }\cdot {\alpha }} \over {180^{\circ }}}-\sin \alpha \right)$

Ellipse

• Grundformel der Ellipse

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

• Fläche

$A=2\cdot \int _{-a}^{a}{\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\,dx$

Geometrie im Raum

Zylinder

• Volumen gerader und schräger Zylinder

$V=\pi \cdot r^{2}\cdot h$

• Mantel gerader Zylinder

$M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h=\pi \cdot d\cdot h$

• Oberfläche gerader Zylinder

$O=2\cdot \pi \cdot r\cdot h+2\cdot \pi \cdot r^{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h+r)$

Kegel

• Volumen von senkrechten und schrägen Kegeln

$V={1 \over 3}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h$

• Mantel von senkrechten Kegeln

$M=\pi \cdot r\cdot s$

• Oberfläche von senkrechten Kegeln

$O=\pi \cdot r\cdot s+\pi \cdot r^{2}=\pi \cdot r\cdot (s+r)$

• Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe

$s^{2}=r^{2}+h^{2}$

Kugel und Kugelteile

• Volumen einer Kugel

$V={4 \over 3}\cdot \pi \cdot r^{3}$

• Oberfläche einer Kugel

$O=4\cdot \pi \cdot r^{2}$

• Umfang einer Kugel

$U=2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot d$

Ellipsoid und Drehkörper

Ellipsoid

• Volumen

$V=\pi \cdot \int _{-a}^{a}{\frac {a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}}{a^{2}}}\,dx$