Kähler-Differential

Der Begriff des Kähler-Differentials ist eine algebraische Abstraktion der Leibnizregel aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialrechnung.

Definition

Es sei $A$ ein Ring und $B$ eine $A$-Algebra.

Für einen $B$-Modul $M$ ist eine $A$-lineare Derivation von $B$ mit Werten in $A$ definiert als eine $A$-lineare Abbildung $D\colon B\to M$, für die die Leibnizregel gilt, d.h.

$D(b_{1}b_{2})=b_{1}D(b_{2})+b_{2}D(b_{1}).$

Die Menge aller solcher Derivationen bildet einen $B$-Modul, der mit

$\mathrm {Der} _{A}(B,M)$

bezeichnet wird.

Weiter sei

$I:=\ker(B\otimes _{A}B\to B)$

der Kern der Multiplikation, der über den linken Faktor als $B$-Modul aufgefasst werde. Der Modul der Kähler-Differentiale oder der relativen Differentiale ist dann

$\Omega _{B/A}:=I/I^{2}.$

Die universelle Derivation ist die Abbildung

$\mathrm {d} \colon B\to \Omega _{B/A},\quad b\mapsto \mathrm {d} b:=b\otimes 1-1\otimes b.$

Sie ist eine $A$-lineare Derivation.

Universelle Eigenschaft

Es gilt:

$\mathrm {Hom} _{B}(\Omega _{B/A},M)\to \mathrm {Der} _{A}(B,M),\quad f\mapsto f\circ \mathrm {d} ,$

ist ein Isomorphismus. Man kann das auch so formulieren: Der Funktor $\mathrm {Der} _{A}(B,{-})$ wird durch das Paar $(\Omega _{B/A},\mathrm {d} )$ dargestellt. Insbesondere ist $\Omega _{B/A}$ durch diese Eigenschaft im wesentlichen eindeutig bestimmt.

Die exakten Sequenzen

• Ist $A$ ein Ring, $B$ eine $A$-Algebra, $C$ eine $B$-Algebra und $M$ ein $C$-Modul, so ist die folgende Sequenz exakt:

$0\longrightarrow \mathrm {Der} _{B}(C,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(C,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B,M).$

Infolgedessen ist die entsprechende Sequenz der relativen Differentiale exakt:

$\Omega _{B/A}\otimes _{B}C\longrightarrow \Omega _{C/A}\longrightarrow \Omega _{C/B}\longrightarrow 0.$

• Ist speziell $C=B/I$ für ein Ideal $I$ in $B$, so ist $\mathrm {Der} _{B}(C,M)=0$, aber man kann noch einen weiteren Term in der exakten Sequenz angeben:

$0\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B/I,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{B/I}(I/I^{2},M)$

Infolgedessen ist die folgende Sequenz der Moduln der Kähler-Differentiale exakt:

$I/I^{2}\longrightarrow \Omega _{B/A}\otimes _{B}B/I\longrightarrow \Omega _{(B/I)/A}\longrightarrow 0.$

Differentiale und Körpererweiterungen

Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.

• Hat $K$ Charakteristik 0, so ist $\dim _{L}\Omega _{L/K}$ gleich dem Transzendenzgrad von $L/K$.
• Hat $K$ Charakteristik $p>0$, und ist $L/K$ endlich erzeugt, so gilt $\Omega _{L/K}=0$ genau dann, wenn $L/K$ algebraisch und separabel ist. Ist beispielsweise $L=K({\sqrt[{p}]{a}})$ eine nichttriviale inseparable Erweiterung, so ist $\Omega _{L/K}$ ein eindimensionaler $L$-Vektorraum.

Beispiele

• Ist $B=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, so ist $\Omega _{B/A}$ ein freier $B$-Modul mit Erzeugern $\mathrm {d} X_{1},\ldots ,\mathrm {d} X_{n}$.