Dirac-Kamm

In der Mathematik und Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis bezeichnet ein Dirac-Kamm eine periodische Schwartz temperierte Distribution, die von Diracschen Delta-Distributionen Gebrauch macht.

$\Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$

für eine Periode T.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion gilt also

$\forall \phi \in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )={\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$ ist $\delta _{T}(\phi ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (nT)$.

Ebenso wie die Gaußsche Glockenkurve ist der Dirac-Kamm ein Fixpunkt der Fourier-Transformation, d.h. die Fourier-Transformierte eines Dirac-Kamms ist wieder ein Dirac-Kamm, sihe Poissonsche Summenformel. Ähnlich, wie das Produkt der Breiten der korrespondierenden Gausskurven durch die Heisenbergsche Unschärferelation beschränkt ist, ist auch das Produkt der Perioden der korrespondierenden Dirac-Kämme eine Konstante:

${\mathcal {F}}\left\{\Delta _{T}\right\}(\omega )={\frac {1}{T}}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\,\Delta _{\frac {1}{T}}(\omega )$

D.h. eine Verfeinerung des Kamms im Zeitbereich führt zu einer Vergröberung des Kamms im Frequenzbereich und umgekehrt.

Abtastung und Alias-Effekte

Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit Abtastrate T.

In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.