Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes Gleichungen sind nicht-lineare partielle Differentialgleichungen aus dem Bereich der Strömungsmechanik bzw. der Strömungslehre. Sie stellen den Impulssatz in differentieller Form dar und beschreiben das Verhalten von Strömungen in Flüssigkeiten und Gasgemischen (Fluiden), nämlich die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Druck von Ort und Zeit. Dieser spezielle Impulssatz gilt jedoch nur für Newtonsche Fluide, wie z.B.: Wasser, Bier oder Luft.

Die Gleichungen sind benannt nach dem Franzosen Navier und dem Briten Stokes. Beide hatten die Gleichungen in der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts (1827 bzw. 1845) unabhängig voneinander entwickelt. In symbolischer Vektorschreibweise lautet die Gleichung:

$\rho \left({\partial \mathbf {u} \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\eta \Delta \mathbf {u} +(\lambda +\eta )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

In Verbindung mit der Kontinuitätsgleichung (Erhaltungssatz der Masse)

${\partial \mathbf {\rho } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {\rho u} )=0$

ergibt sich ein partielles Differentialgleichungssystem mit vier Gleichungen für die vier Größen Geschwindigkeit $\mathbf {u} (x,t)=(u,v,w)$ und Druck $p(x,t)$. Hierbei werden die Stoffkonstanten $\lambda$ und $\eta$ als bekannt voraussgesetzt.

Es ist bis heute nicht gelungen, die Existenz von globalen Lösungen nachzuweisen. Dieses Problem gehört laut Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen dieses Jahrhunderts. Für die Lösung hat dieses Institut ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgesetzt.

In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen, indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle). Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung $\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$. Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle, in denen dieser Term verschwindet. Allgemeine Lösungen findet man mit numerischen Näherungsverfahren der CFD (Computational Fluid Dynamics).