Unstetigkeitsstelle

Funktion mit Unstetigkeitsstelle $x_{0}$

In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, wird eine Funktion überall dort als unstetig bezeichnet, wo sie nicht stetig ist. Eine Stelle, an der eine Funktion unstetig ist, bezeichnet man daher auch als Unstetigkeitsstelle oder Unstetigkeit.

Im Artikel Stetigkeit wird erklärt, wann eine Funktion stetig ist und wann sie unstetig ist. In diesem Artikel werden verschiedene Sorten (Klassen) von Unstetigkeiten dargestellt. Dabei werden nur reellwertige Funktionen auf einem reellen Intervall betrachtet.

Definition

Wie erwähnt, heißt eine auf dem reellen Intervall $[a,b]$ definierte Funktion $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ unstetig an der Stelle $x_{0}\in [a,b]$, falls sie dort nicht stetig ist. Man spricht auch von einer auf einer Menge $I\subset [a,b]$ unstetigen Funktion, wenn die Funktion an jeder Stelle $x\in I$ unstetig ist.

Klassifizierungen von Unstetigkeitsstellen

Es werden verschiedene "Sorten" von Unstetigkeitsstellen unterschieden. Dazu werden die einseitigen Grenzwerte betrachtet:

Für ein reelles Intervall $[a,b]$ und $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ betrachte man an der Stelle $x_{0}\in (a,b)$ den linksseitigen Grenzwert

$f(x_{0}^{-}):=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$

und den rechtsseitigen Grenzwert

$f(x_{0}^{+}):=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x).$

Nun ist $f$ genau dann stetig in $x_{0}$, falls beide Grenzwerte existieren und gleich dem Funktionswert an der Stelle sind: $f(x_{0}^{-})=f(x_{0}^{+})=f(x_{0})$. Andernfalls ist $f$ an der Stelle unstetig. Folgende Fälle sind dabei möglich:

1. Eine Unstetigkeitsstelle heißt hebbar, falls die Grenzwerte $f(x_{0}^{-})$ und $f(x_{0}^{+})$ existieren, endlich sind und gleich sind. Solch eine Unstetigkeit lässt sich entfernen, genauer: Die Funktion $g(x):={\begin{cases}f(x)\,&,x\neq x_{0}\\f(x_{0}^{-})&,x=x_{0}\end{cases}}$ ist stetig.
2. Falls beide Grenzwerte existieren und endlich, aber ungleich sind, spricht man von einer Sprungstelle und definiert den Sprung $s:=f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})$. Für hebbare Unstetigkeiten lässt sich der Sprung natürlich auch definieren, er ist dann $s=0$. Existieren auf dem gesamten Definitionsbereich einer Funktion alle einseitigen Grenzwerte und sind diese endlich, heißt die Funktion sprungstetig.
3. Einen Pol (oder Polstelle) nennt man eine Unstetigkeit, an der $f(x_{0}^{-})$ und $f(x_{0}^{+})$ existieren, jedoch einer oder beide Grenzwerte nur im uneigentlichen Sinne, d.h. sie nehmen die Werte $+\infty$ oder $-\infty$ an (siehe auch Polstelle).
4. Schließlich gibt es noch die Möglichkeit, dass wenigstens einer der Grenzwerte weder eigentlich noch uneigentlich existiert.

Die Fälle 1. und 2. werden auch als Unstetigkeitsstellen erster Art bezeichnet; Die Fälle 3. und 4. entsprechend als Unstetigkeiten zweiter Art, oder manchmal auch als wesentliche Unstetigkeiten.

Manchmal werden auch Stellen außerhalb des Definitionsbereiches einer Funktion als Unstetigkeitsstellen bezeichnet. Der Artikel Stetig behebbare Definitionslücke untersucht Möglichkeiten einer stetigen Fortsetzung außerhalb des Definitionsbereiches.

Beispiele

Beispiel 1: hebbare Unstetigkeit

Beispiel 1: Die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ für }}x<1\\0&{\mbox{ für }}x=1\\2-x&{\mbox{ für }}x>1\end{cases}}$

hat an der Stelle $x_{0}=1$ eine hebbare Unstetigkeit.

Beispiel 2: Sprungstelle

Beispiel 2: Die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ für }}x<1\\0&{\mbox{ für }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ für }}x>1\end{cases}}$

hat an der Stelle $x_{0}=1$ eine Sprungstelle mit einem Sprung von 1.

Beispiel 3: Unstetigkeit zweiter Art

Beispiel 3: Die Funktion

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ für }}x<1\\0&{\mbox{ für }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ für }}x>1\end{cases}}$

hat an der Stelle $x_{0}=1$ eine Unstetigkeit zweiter Art. Der linksseitige Grenzwert existiert nicht (weder eigentlich noch uneigentlich), der rechtsseitige Grenzwert ist $+\infty$.

Datei:Dirichlet Popcorn Plot on 0 to 1.png

Beispiel 4: Thomaesche Funktion auf (0, 1)

Beispiel 4: Die Thomaesche Funktion ist auf den rationalen Zahlen unstetig und auf den irrationalen Zahlen stetig. Die Dirichlet-Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich unstetig.

Unstetigkeiten monotoner Funktionen

Ist die Funktion $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ auf dem reellen Intervall $[a,b]$ monoton, so existieren für alle $x\in (a,b)$ die einseitigen Grenzwerte $f(x^{-})$ und $f(x^{+})$. Daher haben solche monotonen Funktionen keine Unstetigkeitsstellen zweiter Art. Die Menge der Unstetigkeitsstellen erster Art von solchen monotonen Funktionen ist höchstens abzählbar, kann aber durchaus dicht im Definitionsbereich liegen.

Literatur

• Walter Rudin: Analysis. 4. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2009, ISBN 978-3-486-58730-2, 4. Stetigkeit: Unstetigkeitsstellen, S. 109–110 (englisch: Principles of mathematical analysis. Übersetzt von Martin Lorenz und Christian Euler). 

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg und Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, 39. Einseitige Grenzwerte, S. 239. 

• Kurt Endl und Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, 2.12 Grenzwerte von Funktionen, S. 126. 

• Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008, ISBN 978-3-8171-2017-8, 2.1.5.2 Definition der Stetigkeit und 2.1.5.3 Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten, S. 59. 

• Hans-Jochen Bartsch: Taschenbuch Mathematischer Formeln. 20. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, München 2004, ISBN 3-446-22891-8, 7.4.3 Stetigkeit einer Funktion, S. 371.