Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall (auch Vertrauensbereich, Vertrauensintervall oder Mutungsintervall genannt) ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik. Er sagt etwas über die Präzision der Lageschätzung eines Parameters (zum Beispiel eines Mittelwertes) aus. Das Vertrauensintervall schließt einen Bereich um den geschätzten Wert des Parameters ein, der – vereinfacht gesprochen – mit einer zuvor festgelegten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau) die wahre Lage des Parameters trifft. Ein Vorteil des Konfidenzintervalls gegenüber der Punktschätzung eines Parameters ist, dass man an ihm direkt die Signifikanz ablesen kann. Ein für ein vorgegebenes Konfidenzniveau zu breites Vertrauensintervall weist auf einen zu geringen Stichprobenumfang hin. Entweder ist die Stichprobe tatsächlich „klein“, oder das untersuchte Phänomen ist so variabel, dass nur durch eine unrealistisch große Stichprobe ein Konfidenzintervall von akzeptabler Breite erreicht werden könnte.

Definition

Sei $(X,{\mathcal {F}}$ , $P_{\vartheta }$ : $\vartheta \in \Theta$ ) ein statistisches Modell, und $\Sigma$ eine Menge. $\tau :\Theta \rightarrow \Sigma$ sei eine zu ermitelnde Kenngröße für den Parameter $\vartheta$ . Sei weiter $0<\alpha <1,\alpha \in \mathbb {R}$ . Eine Abbildung $C:X\rightarrow P(\Sigma )$ heißt Konfidenzintervall zum Irrtumsniveau $\alpha$ von $\tau$ , wenn sie jedem möglichen Beobachtungsergebnis $x\in X$ eine Menge $C(x)\subset \Sigma$ zuordnet, und wenn für C(x) gilt:

 $\inf _{\vartheta \in \Theta }P_{\vartheta }[x\in X:c(x)\ni \tau (\vartheta )]\geq 1-\alpha$

Beispiel einer Anwendung

Ein Physikdoktorand misst die ausstrahlende Wellenlänge bei einem Experiment unter zwei verschiedenen Bedingungen. Leider ist das Messgerät 10 Jahre alt und die Mechanik der Optik etwas wackelig. Obwohl also aufgrund des Versuchsansatzes nur das Licht einer Wellenlänge pro Bedingung erwartet wird, streut das Ergebnis bei unabhängigen Messungen. Der Physikdoktorand geht davon aus, dass das Messgerät mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu große wie zu kleine Wellenlängen misst und dass extreme Messfehler unwahrscheinlicher sind als Messwerte nahe dem wahren Wert (Normalverteilung).

Daraufhin rechnet er aus den Ergebnissen der Einzelmessungen den arithmetischen Mittelwert aus. Für jede Bedingung einen Mittelwert. Er zeigt die Daten seinem Doktorvater, der wissen will, wie stark die Streuung der Messwerte war.

Jetzt rechnet der Doktorand den Standardfehler aus, um ein Maß für die Genauigkeit seiner beiden Mittelwerte zu bekommen und diese graphisch (als Fehlerbalken um den Mittelwert) darstellen zu können. Der Standardfehler bezieht neben der Streuung die Anzahl der Einzelmessungen mit ein. Je mehr Einzelmessungen vorgenommen werden desto näher kommt der errechnete Mittelwert dem wahren Wert und desto kleiner ist auch der Standardfehler.

Der Doktorvater ist aber immer noch nicht zufrieden, denn jetzt will er wissen, ob sich die zwei errechneten Mittelwerte unter den zwei unterschiedlichen Bedingungen statistisch signifikant voneinander unterscheiden oder ob es nur aufgrund der Ungenauigkeit des Gerätes zu unterschiedlichen Mittelwerten kommt. Daraufhin rechnet der Doktorand die Vertrauensintervalle um die Mittelwerte aus, die in Abhängigkeit von der Streuung und der Anzahl der Einzelmessungen den Bereich angeben, der jeweils den wahren Wert mit hoher Wahrscheinlichkeit mit einschließt. Wählt man ein 95 %-Konfidenzintervall (das heißt: in 95 von 100 Fällen enthalten die errechneten Intervallgrenzen den wahren Wert) und die Balken des Konfidenzintervalls der beiden Mittelwerte überschneiden sich nicht, dann werden die Mittelwerte in der Regel als signifikant unterschiedlich bezeichnet (wird häufig mit einem * markiert). Hierbei handelt es sich aber nur um eine Faustregel: Es gibt sehr wohl Fälle, in denen sich die Unter- und Obergrenze zweier Konfidenzintervalle nicht überschneiden, die Mittelwerte aber dennoch nicht signifikant unterschiedlich sind. Bei einem 99 %-Konfidenzintervall und fehlender Überlappung gelten sie als hochsignifikant unterschiedlich (Markierung: **).

Beschreibung des Verfahrens

Man interessiert sich für den unbekannten Verteilungsparameter einer Zufallsvariablen einer Grundgesamtheit. Der „wahre“ Parameter γ (Gamma) für eine Grundgesamtheit wird durch eine Schätzfunktion g aus einer Stichprobe vom Umfang n geschätzt. Es wird davon ausgegangen, dass die Stichprobe in etwa die Grundgesamtheit widerspiegelt und dass deshalb die Schätzung in der Nähe des wahren Parameters liegen müsste. Die Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable mit einer Verteilung, die den Parameter γ enthält.

Man kann zunächst mit Hilfe der Verteilung ein Intervall angeben, das den unbekannten wahren Parameter γ mit einer Wahrscheinlichkeit 1−α einschließt. 1−α wird Konfidenzkoeffizient genannt. Ermitteln wir z. B. das 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Erwartungswert μ einer Population, dann bedeutet dies, dass wir ein Konfidenzintervall ermitteln, das bei durchschnittlich 95 von 100 gleichgroßen Zufallsstichproben den Erwartungswert enthält.

Das Verfahren wird anhand eines normalverteilten Merkmals mit dem unbekannten Erwartungswert μ und der bekannten Varianz σ² demonstriert: Es soll der Erwartungswert μ dieser Normalverteilung geschätzt werden. Verwendet wird die erwartungstreue Schätzfunktion: der Stichprobenmittelwert ${\bar {X}}$ .

Der Erwartungswert der Population wird anhand unserer Stichprobe geschätzt

{\hat {\mu }}={\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},

wobei die Zufallsvariable X_i (i=1,…,n) für die i-te Beobachtung (vor der Ziehung der Stichprobe) steht. Es ist

{\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ;{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)

Die Grenzen des Intervalls

[{\bar {x}}_{u};{\bar {x}}_{o}],

in dem ${\bar {X}}$ mit der Wahrscheinlichkeit 1−α liegt, bestimmen sich aus der Beziehung

P({\bar {x}}_{u}\leq {\bar {X}}\leq {\bar {x}}_{o})

.

Man standardisiert und erhält für die standardisierte Zufallsvariable

Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

die Wahrscheinlichkeit

P\left({-z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right)\leq {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right)}\right)=1-\alpha

,

wobei z(1-α/2) das (1-α/2)-Quantil der Standardnormalverteilung ist. Löst man nach μ auf, resultiert aus dem Zufallsintervall

P\left({{\bar {X}}-z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\right)=1-\alpha

das (1−α)-Konfidenzintervall für μ

Mögliche Lage von µ im Konfidenzintervall um ${\bar {X}}$ mit unbekanntem µ und beobachtetem ${\bar {x}}$

\left[{{\bar {x}}-z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};\ {\bar {x}}+z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\right].

Das durch ${\bar {x}}$ bestimmte Intervall überdeckt den wahren Parameter μ also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1−α. Ist die Stichprobe aber extrem ausgefallen, überdeckt das Intervall den Parameter nicht. Dies ist in 100α% aller Stichproben der Fall.

Von besonderem Interesse ist die Breite des Konfidenzintervalls. Diese bestimmt sich durch die Standardabweichung der Schätzfunktion und das gewählte Konfidenzniveau. Durch Erhöhung des Stichprobenumfangs kann die Breite verringert werden. Erwünscht ist in der Regel ein möglichst schmales Konfidenzintervall, denn dies weist bei konstantem Konfidenzniveau auf eine genaue Schätzung hin.

Ausgewählte Konfidenzintervalle

Übersicht

Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit bekannter Varianz:	$\left[{{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}\right]$
Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit unbekannter Varianz. Die Varianz der Grundgesamtheit wird durch die korrigierte Stichprobenvarianz $s^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ geschätzt. t(1-α;n-1) ist das 1−α-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Für n > 30 kann das Quantil der t-Verteilung näherungsweise durch das entsprechende Quantil der Standardnormalverteilung ersetzt werden.	$\left[{{\bar {x}}-t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}},n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}},n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}}\right]$
Erwartungswert eines unbekannt verteilten Merkmals mit unbekannter Varianz, falls n > 50 ist.	$\left[{{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {s}{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {s}{\sqrt {n}}}}\right]$
Varianz eines normalverteilten Merkmals. χ²(p;k) ist das p-Quantil der χ²-Verteilung mit k Freiheitsgraden.	$\left[{\frac {n-1}{\chi ^{2}(1-{\tfrac {\alpha }{2}},n-1)}}s^{2}\ ;\ {\frac {n-1}{\chi ^{2}({\tfrac {\alpha }{2}};n-1)}}s^{2}\right]$
Anteilswert θ einer dichotomen Grundgesamtheit bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen, falls $n>{\frac {9}{p(1-p)}}$ ist, mit $p={\frac {x}{n}}$ und x als Realisation der binomialverteilen Zufallsvariablen.	$\left[{p-z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}};\ p+z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}\right]$

Anmerkungen

Ist die Zahl N der Elemente in der Grundgesamtheit bekannt, kann für den Parameter auch ein Konfidenzintervall für ein Urnenmodell ohne Zurücklegen angegeben werden. Hier wird die Standardabweichung noch mit einem Korrekturfaktor modifiziert.

Wenn bei einem binomialverteilten Merkmal der Stichprobenumfang $n<{\frac {9}{p(1-p)}}$ ist, kann ein exaktes Konfidenzintervall für den Anteilswert mit Hilfe der F-Verteilung angegeben werden.

Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Konfidenzintervalle kommen auch bei Hypothesentests zum Einsatz: Testet man von einem Parameter θ die Nullhypothese: θ = θ₀, dann ist das Kriterium für das Ablehnen der Nullhypothese bei Signifikanzniveau α, ob das entsprechende (1-α)-Konfidenzintervall den Wert θ₀ enthält oder nicht. Daher ersetzen Konfidenzintervalle gelegentlich auch Hypothesentests.

Beispielsweise testet man in der Regressionsanalyse, ob im multiplen Regressionsmodell mit der geschätzten Regressionshyperebene

{\hat {y}}=b_{0}+b_{1}\,x_{1}+b_{2}\,x_{2}+\dotsb +b_{m}\,x_{m}

die wahren Regressionskoeffizienten β_j (j = 1, … , m) gleich Null sind. Wenn die Hypothese nicht abgelehnt wird, sind die entsprechenden Regressoren x_j vermutlich für die Erklärung der abhängigen Variablen y unerheblich. Eine entsprechende Information liefert das Konfidenzintervall für einen Regressionskoeffizienten: Überstreicht das Konfidenzintervall die Null, kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-α der Regressionskoeffizient ebenso gut Null sein, d. h. er ist statistisch insignifikant.

Beispiel für ein Konfidenzintervall

Ein Unternehmen möchte flächendeckend auf dem Markt ein neues Spülmittel einführen. Um die Käuferakzeptanz auszuloten, wird in einem Supermarkt dieses Produkt mit hohem Werbeaufwand platziert. Es soll mit dieser Aktion der durchschnittliche tägliche Absatz in einem Supermarkt dieser Größe geschätzt werden. Man definiert nun den täglichen Absatz als Zufallsvariable $X$ [Stück] mit den unbekannten Parametern Erwartungswert μ und der Varianz σ². Man geht auf Grund langjähriger Beobachtungen hier davon aus, dass $X$ annähernd normalverteilt ist. Die Marktforschungsabteilung hat einen Konfidenzkoeffizienten von 0,95 als ausreichend erachtet. Es wird nun 16 Tage lang der tägliche Absatz erfasst. Es hat sich beispielsweise ergeben

Absatz x	110	112	106	90	96	118	108	114	107	90	85	84	113	105	90	104

Bei normalverteilter Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz wird das Konfidenzintervall für den Erwartungswert angegeben als

\left[{{\bar {x}}-t_{\left(1-{\frac {\alpha }{2}};n-1\right)}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+t_{\left(1-{\frac {\alpha }{2}};n-1\right)}{\frac {s}{\sqrt {n}}}}\right]

Es ist

{\bar {x}}={\frac {1}{16}}\cdot (110+112+\dotsb +104)={\frac {1}{16}}\cdot 1632=102

und

{\begin{aligned}s^{2}&={\frac {1}{n-1}}\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}\\&={\frac {1}{15}}\left((110-102)^{2}+(112-102)^{2}+\dotsb +(104-102)^{2}\right)\\&={\frac {1}{15}}\cdot 1856=123{,}73\end{aligned}}

Es ist das (1-α/2)-Quantil der t-Verteilung mit 15 Freiheitsgraden

t_{\left(1-{\frac {\alpha }{2}};n-1\right)}=t_{\left(0{,}975;15\right)}=2{,}13

Das 95 %-Konfidenzintervall berechnet sich dann als

\left[{102-2{,}13{\frac {\sqrt {123{,}73}}{\sqrt {16}}};102+2{,}13{\frac {\sqrt {123{,}73}}{\sqrt {16}}}}\right]=[102-5{,}92;102+5{,}92]=[96{,}08;107{,}92]

In 95 % aller Fälle beinhaltet also das Intervall des durchschnittlichen täglichen Absatzes an Spülmittelflaschen zwischen ca. 96 und 108 Stück den wahren Mittelwert. Dieses Intervall ist relativ schmal, so dass man gut mit dieser Information planen kann.

Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit

Eine weitere Möglichkeit, den Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) für eine Wahrscheinlichkeit (Anteilswert einer dichotomen Grundgesamtheit) exakt zu bestimmen, ist die Verwendung der Betaverteilung. Mehr Informationen finden sich im Artikel Konfidenzintervall einer unbekannten Wahrscheinlichkeit.

Weblinks