Benutzer:Grunswiki/Offener Resonator

Der Offene Resonator dient der Untersuchung der Eigenschaften eines Laserstrahls oder wird beim Laser-Oszillator zur Rückkopplung benutzt. In beiden Fällen enthält der Resonator bei hoher Güte ein nahezu stehendes Wellenfeld, welches beim Generator die induzierte Emission im gepumpten Medium stimuliert. Das modellhafte skalare paraxiale Wellenfeld des elektromagnetischen transversalen Laserstrahls oder der gerichteten Energieübertragung bei Millimeterwellen kann als internes Wellenfeld in den transversal offenen Resonator eingepasst werden.

Leitgedanken

Der Offene Resonator besteht aus zwei Spiegeln, deren Querabmessungen und häufig ihr Abstand groß gegen die Wellenlänge sind. Das Fabry-Pérot-Interferometer ist ein Beispiel, bei dem im einfachsten Fall die Vorstellung herrscht, dass hin- und her laufende Ebene Wellen zwischen den Spiegeln existieren. Im Teilchenbild heißt das, Lichtstrahlen laufen zwischen den Spiegeln hin und her. Dabei selektiert die Anordnung diejenigen, die im rechten Winkel auf die Spiegel treffen: dieses Wellenfeld oder Strahlenbündel ist stabil in diesem Resonator. Am Rande dieses Resonators treten allerdings Beugungsverluste auf; die Resonatorgüte ist folglich endlich, aber bei praktischen Anordnungen sehr hoch und eher begrenzt durch die nicht totale Reflexion an den Spiegeln. (Der gegenüber der ebenen Anordnung andere Extremfall ist ein radialsymmetrischer Resonator aus einer spiegelnden Kugel umgeben von einer innen verspiegelten Kugelschale. In diesem Fall können Kugelwellen im Sinne eines idealen Rundstrahlers existieren, in jenem Wellen im Sinne eines Richtstrahlers.)

Sphärischen Resonator. Hier der spezielle konfokale Resonator

Der Fabry-Pérot-Laser überwindet die Beugungsverluste durch geringen Spiegelabstand oder (zusammen mit den Auskoppelverlusten) durch ein hinreichend verstärkendes Verstärkermedium. Bei einem langgestreckten Resonator können die Beugungsverluste verringert werden durch sphärisch nach innen gekrümmte Spiegel; die Abbildung zeigt als spezielles Beispiel den konfokalen Resonator, bei dem die Spiegelbrennpunkte zusammenfallen. Der gezeichnete Strahlengang ist stabil: ein Parallelstrahl verlasse einen Spiegel, er kreuzt nach Reflexion den Fokus und verlässt nach abermaliger Reflexion als Parallelstrahl einen äquivalenten Ausgangspunkt. Im zugehörigen Wellenbild sind je zwei hin und her laufende ebene Wellen beteiligt: der Wellenvektor des einen Paars ist parallel zur Resonatorachse, der des anderen Paars zur Achse geneigt.

Der grenzstabile konfokale Resonator lässt sich, wie von der Abbildung gestützte Überlegungen verdeutlichen können, zur Klasse stabiler Resonatoren ausweiten: auf den ebenen Resonator zu, indem beim Verkürzen des Resonators der Krümmungsradius der Spiegel passend verringert wird. Bei ebenen Spiegeln schließlich läuft der Strahl in sich zurück, und die Resonatorlänge ist ohne Belang, soweit Beugungsverluste unberücksichtigt bleiben können; diese sind im dem Teilchenbild lokalisierter Strahlen zugeordneten Bild ebener Wellen unvermeidbar. – Umgekehrt kann die Resonatorlänge gestreckt werden bis die Krümmungsmittelpunkte der Spiegel zusammenfallen; dann läuft der Strahl ebenfalls in sich zurück. Letzteres besagt, die Wellenvektoren entsprechender ebener Wellen sind beliebig gegen die Resonatorachse geneigt, soweit der Spiegelrand ohne wesentlichen Einfluss bleibt. – Das Spektrum der Neigungsmoden ist vollständig, wenn der Resonator zur vollen Kugeloberfläche ergänzt wird. Diese Vorstellungen sind hilfreich bei der Deutung der beabsichtigten analytischen Behandlung.

Resonatoren mit wenigstens einem nach außen gekrümmten Spiegel gehören in die Klasse instabiler Anordnungen, aber auch Hohlspiegel mit im Vergleich zum Abstand zu kleinem Krümmungsradius sind instabil.

Wellenbild

Überlegungen im Strahlenbild haben gezeigt, dass Lichtstrahlen stabile Resonatoren in weiten Grenzen nicht verlassen. Folglich sollten sich näherungsweise konsistente Wellenfelder finden lassen, die durch ihre transversale Struktur die Beugungsverluste in engen Grenzen halten.

Das als Gaußsches Bündel bekannte, entsprechend der Fehlerfunktion eng begrenzte paraxiale Wellenfeld kann selbst in einem durchaus sehr schlanken – also gegenüber dem konfokalen Resonator sehr lang gezogenen – stabilen offenen Resonator in ausgezeichneter Näherung existieren. Wellenvektoren großer Neigung gegen die Resonatorachse sind nämlich im Neigungsspektrum nach ebenen Wellen des Gauß-Bündels in exponentiell abnehmendem Maße vorhanden. Das Gauß-Bündel ist Eigenfunktion unter der Fourier-Transformation nach transversalen Koordinaten. Darüber hinaus existiert sogar ein vollständiges Spektrum von transversalen Moden, die Eigenfunktionen unter der Fourier-Transformation sind. Die Vollständigkeit erlaubt folglich sogar eine willkürliche transversale Gestaltung des paraxialen Wellenfeldes. Zusätzlich zu diesen transversalen Moden sind longitudinale Moden nach Art der Airy-Funktion ausgezeichnet, wie sie vom Fabry-Pérot-Interferometer her bekannt sind.

Das im idealen Resonator vorhandene Stehende Lichtwellenfeld kann zum periodisch wiederholten laufenden Wellenfeld entfaltet denken. (Dazu denkt man sich die Hohlspiegel durch dünne Linsen derselben Brennweite vor idealen Reflektoren ersetzt; beseitigt man letztere, so setzt sich das Wellenfeld fort wie beim Laserstrahl. Wenn jedoch periodisch im Abstand der ursprünglichen Resonatorlänge eine Linse steht, hat man die periodische Fortsetzung der Wellenstruktur des Resonators.) Dabei müssen statt der sphärischen Spiegel zur Realisierung periodischer Randbedingungen im Abstand der Resonatorlänge sphärische Linsen äquivalenter Brennweite stehen.

Anfang der 1960er Jahre wurde das Problem des paraxialen Bündels von ebenen Wellen mit effektiv engem Neigungsspektrum von unterschiedlichen Gesichtspunkten aus erforscht.

• Im Fall eines Mikrowellenfeldes wurde neben anderen Anordnungen vorgeschlagen, eine drahtlose Übertragungsstrecke zu errichten, weil große Kabellängen wegen erheblicher Dispersion zur analogen Nachrichtenübermittlung ungeeignet sind. Die Goubau-Leitung ist eine von einem Oberflächenleiter geführte Welle mit dem Nachteil eines weit in den umgebenden, mit störenden Hindernissen besetzten Raum ragenden transversalen Wellenfeldes. Deshalb berechneten Georg Goubau und Felix Schwering den paraxialen Strahl, der transversal eng begrenzt ist. Dieser im Unterschied zum geschlossenen Hohlleiter beam waveguide (Strahl-Wellenleiter) genannte Wellenzug – hier in Anlehnung an den Offenen Resonator Offener Wellenleiter genannt – wurde experimentell untersucht. Um die berechneten Beugungsverluste mit gemessenen vergleichen zu können, verwendeten die Autoren einen 30 m langen konfokalen Resonator mit Spiegeln von 0,91 m Durchmesser bei 23 GHz. Die geringe gemessene Dämpfung von deutlich weniger als 2 dB/km kann bei niederen transversalen Moden erreicht werden. Der mittels Linsen iterierte Wellenleiter eignet sich daher durchaus zur Energieübertragung über größere Strecken.

• Goubau und Schwering berechneten analytisch das elektromagnetische Feld in einer Entwicklung nach rotationssymmetrischen Moden und näherten im Grundsatz zum paraxialen Strahl. Fox und Li führten zur gleichen Zeit iterierte numerische Simulationen nach der Fresnel-Kirchhoffschen Beugungstheorie aus. Sie verwendeten das an einer rechteckigen Blende erscheinende skalare Feld als Startfeld für den jeweils nächsten Iterationsschritt. Vor jeder erneuten Iteration hat die Blende näherungsweise ein Äquivalent der Beugungsverluste und der durch weit ausgreifende hohe transversale Moden verursachten abgestreift. Letzteres wurde von Schawlow und Townes schon vermutet mit dem günstigen Ergebnis der Konzentration der Leistung in der niedrigsten Mode und vermindertem Rauschen wegen fehlender höherer Moden; dies spreche für den offenen Resonator, den sie allerdings noch nicht so nennen, aber als solchen umschreiben: nonexistent (or lossy) perfectly-matched side walls. Das Ergebnis vieler Iterationen konvergiert tatsächlich gegen eine transversale Struktur mit geringen Beugungsverlusten, welches als Grundmode dem Gaußschen Bündel nahe kommt; niedere Moden werden bei entsprechenden Startfeldern ebenfalls numerisch erhalten.

Bis dahin war nicht sicher, ob tatsächlich ein vollständiges Orthonormalsystem für die transversale Feldstruktur existiere, von Goubau wurde es in der Patentanmeldung von 1958 allerdings schon vermutet. Die Geschichte dieser Phase und die anschließende Entwicklung wurden von Siegman zusammengefasst. In der Folge wurde erkannt, dass die Moden des transversal offenen Resonators oder Wellenleiters tatsächlich ein vollständiges Orthonormalsystem bilden, wie deren Existenz vom Hohlleiter her bekannt war. Unten wird die Näherung der elliptischen Helmholtz Gleichung zur parabolischen oder paraxialen Wellengleichung von der Art der Schrödingergleichung vektoranalytisch durchgeführt. Die Schrödingergleichung kann aus der Klein-Gordon-Gleichung analog hergeleitet werden. So wie mit der paraxialen Wellengleichung schwache Abweichungen der Richtung des Wellenvektors (Impulses) von der Strahlachse behandelt werden, so wird für die Schrödingergleichung eine kleine Abweichung der Energie von der Ruhenergie angenommen. Die Lorentz-Invarianz (Kovarianz) geht in beiden Fällen verloren.

Damit waren von Zenneck und Sommerfeld unter Beteiligung von Goubau angestoßene Entwicklungen zur gerichteten Ausstrahlung von Energie oder Information zu einem günstigen Abschluss gekommen.

Paraxiale Optik

Paraxialer Strahl

Der oben im Bild dargestellte Strahlenverlauf im konfokalen Resonator ist stabil unter der Voraussetzung beliebig kurzer Lichtwellenlänge, so dass Beugung ignoriert werden kann. Natürlich werden im Strahlenbild Interferenz und Polarisation nicht angesprochen. Die bekannte geometrische Optik untersucht den Strahlengang in meist rotationssymmetrischen Anordnungen (Gaußsche Optik) von optischen Komponenten wie Linsen in paraxialer Näherung, indem die Analyse auf schwach gegen die optische Achse geneigte Strahlen, Winkel $\,\!{}_{\theta }$, beschränkt wird (lineare Optik) und die Näherungen ${}_{\tan \theta \,\approx \,\sin \theta \,\approx \,\theta }$ ausreichend sind. Jeder Strahl ist durch ein Paar der Parameter Abstand $q$ von der optischen Achse und Neigung $p$ festgelegt. Außerdem muss bekannt sein, welcher Strahl an welchen an einem optischen Bauteil anschließt. Fortschreiten längs der optischen Achse um $\Delta w$ ohne Brechung ändert den Abstand von der Achse entsprechend der Gleichung der Geraden Strahl $q'=q+p\Delta w$. Unter Voraussetzung dünner Linsen ändert die Linse nur die Strahlrichtung, nicht den Abstand von der Achse. Die Strahlparameter werden in dem Vektor ${\tbinom {q}{p}}$ zusammengefasst. Entsprechend der Wirkung von Matrizen auf zweikomponentige Vektoren als Identität + Änderung hat man

$M={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{smallmatrix}}{\bigr )}+{\bigl (}{\begin{smallmatrix}{0}&{\mathrm {Abstandsaenderung\,\,pro} \,p}\\{\mathrm {Neigungaenderung\,\,pro} \,q}&{0}\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{1}&{\mathrm {Abstandsaenderung\,\,pro} \,p}\\{\mathrm {Neigungaenderung\,\,pro} \,q}&{1}\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

mit der Determinante

${}_{\,\!\left|{\begin{smallmatrix}{{}_{1}}&{{}_{\mathrm {Abstandsaenderung} }}\\{{}_{\mathrm {Neigungsaenderung} }}&{{}_{1}}\end{smallmatrix}}\right|\,\,\!=\,1\,,}$

weil die hier vorausgesetzten Bauteile entweder ausschließlich die eine oder die andere Wirkung zeigen. Beispielsweise gilt entsprechend der obigen Geradengleichung ${\tbinom {q'}{p'}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{1}&{\Delta w}\\{0}&{1}\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\tbinom {q}{p}}$ mit $p'=p$, weil auf der Strecke $\Delta w$ kein brechendes Element liegt. Die gemeinsame Wirkung der optischen Bauelemente im Vakuum:

Laufweg $2f$ − Linse mit positiver Brechkraft ${}_{-1\!/\!f}$, negativ zur Verkleinerung der Strahlneigung – Laufweg – Linse – …

des abgewickelten konfokalen Resonators mit der Brennweite $f$ hat jeden Vektor ${\tbinom {q}{p}}$ zum Eigenvektor mit dem Eigenwert 1 (Entartung); denn für den halben Umlauf gilt schon

${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\-1\!/\!f&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2f\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\-1\!/\!f&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2f\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\tbinom {q}{p}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\tbinom {q}{p}}=-{\tbinom {q}{p}}.$

Paraxiale Welle

Das Lichtstrahlbündel soll als monochromatische Lichtwellenerscheinung, dem Gaußschen Strahl, approximiert werden. Dazu wird zunächst der Operator der Wellengleichung auf die Achse ${}_{{\vec {s}}\,^{2}=1}$ des Strahls festgelegt. Die Eigenwertgleichung ${}_{\,\!-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\,=\,\omega ^{2}\,>\,0}$ hat die Lösung ${}_{\,\!\exp[\mathrm {i} \omega t]}$. Die Dispersionsrelation erfordert . Der Laplace-Operator wird in den longitudinal und den auf transversale Koordinaten wirkenden Anteil zerlegt

$\Delta =\left({\vec {s}}\cdot \nabla \right)^{2}+\Delta _{\perp }\equiv \Delta _{||}+\Delta _{\perp }.$

Mit den einzelnen Eigenwerten des zerlegten Laplace-Operators lautet die Dispersionsrelation

$k^{2}=k_{||}^{2}+{\vec {k}}_{\perp }^{2}.$

Der d'Alembert-Operator wird entsprechend geteilt und in hermitesche Operatoren 1. Ordnung zerlegt

$-\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta =\left(\mathrm {i} {\frac {\partial }{c\partial t}}-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla \right)\left(\mathrm {i} {\frac {\partial }{c\partial t}}+\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla \right)-\Delta _{\perp }=0\,.$

Teilweise werden die Eigenwerte in die verbleibende Helmholtz-Gleichung für die monochromatische Welle zu ${}_{{\vec {k}}^{2}=\omega ^{2}\!/c^{2}}$eingesetzt

$\left(k-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla \right)\left(k+k_{||}\right)+\Delta _{\perp }=0\,.$

Nun wird verlangt, dass ${}_{k_{||}\,\!}$ nur wenig von ${}_{\,\!k}$ abweicht. Das bedeutet nur kleine Werte für den Betrag der Eigenvektoren ${}_{\,\!{\vec {k}}_{\perp }}$ von ${}_{\,\!\Delta _{\perp }}$ gemäß ${}_{\,\!{\vec {k}}_{\perp }^{2}\ll \,k^{2}}$. Das bedeutet eine Struktur des Wellenfeldes, die transversale wesentlich gröber ist als die Wellenlänge ${}_{2\pi \!/\!k}$. Deshalb wird die Vornahme dieser Näherung Schwach Variierende Enveloppe Approximation (SVEA) genannt. Betont wird, dass die Enveloppe sich transversal auf einer sehr großen Längenskala erfolgen, es bedeutet nicht, dass die sie konstituierenden ebenen Wellen nur schwach gegen die Strahlachse geneigt sein müssen. Indem in der vorstehenden Gleichung ${}_{k_{||}\,\!}$ gleich ${}_{k\,\!}$ gesetzt wird, wird die paraxiale Näherung der Wellengleichung erhalten

$-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla =-k-{\frac {\Delta _{\perp }}{2k}}\,.$

Diese Gleichung enthält noch in Gestalt des Summanden $-k$ den Eigenwert des Trägers ${}_{\,\!\exp[-\mathrm {i} (\omega t-k{\vec {s}}\cdot {\vec {r}})]}$ des Strahls, einer ebenen Welle, in der hier schon die Eigenfunktion der Zeitableitung eingearbeitet ist. Die Differentialgleichung der Enveloppe für sich allein ist folglich

$-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla =-{\frac {\Delta _{\perp }}{2k}}\,;$

denn ein Summand in einer parabolischen Differentialgleichung führt zu einem Funktionenfaktor (Separationsansatz). Die transversale Enveloppe evolviert als Funktion von ${}_{\,\!{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}}$ unter Dispersion, wie es von der ebenfalls parabolischen Schrödingergleichung her bekannt ist.

Die Dispersion ist um ${}_{\,\!{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}\,=\,0}$ bzw. ${}_{\,\!t\,=\,0}$ gering bevor sie nach der sog. Rayleigh-Länge ${}_{\,\!z_{R}}$ einsetzt und gegen einen Grenzwert strebt.

Bei der Wahl der Notation wurde zu Anfang der Ortsraum zugrunde gelegt. Die Gestalt der Enveloppe kann durch die Feststellung gefunden werden, dass die Wellengleichung in gleicher Weise statt im Ortsraum ${}_{\,\!{\vec {r}}}$ im Wellenvektorraum ${}_{\,\!{\vec {k}}}$ hätte angesetzt werden können. Im letzteren Fall gelangt man zur parabolischen Differentialgleichung

$-\mathrm {i} {\vec {s}}\cdot \nabla _{k}=-{\frac {\Delta _{k\perp }}{2{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}}}\,.$

Die mathematische Gestalt der Lösungsfunktionen ist dieselbe, daher können sie nur Eigenfunktionen unter der Fourier-Transformation sein. Bei Wahl eines homogenen Koordiantensystems im Transversalraum bilden Gauß-Hermite Funktionen die Lösung, bei Polarkoordinaten die Gauß-Laguerre-Funktionen. Das Verhalten im tranversal Fernen ist jedenfalls durch die Fehlerfunktion ausgezeichnet gesichert. Sie bilden eine reelle und abzählbare vollständige, normierbare Basis mit beiden Paritäten; denn ${}_{\Delta _{\perp }}$ ist von gerader Parität. Die Skala, auf der die Enveloppe variiert, wird von ${}_{\,\!{\vec {s}}\cdot {\vec {r}}}$ abhängen.

Bei der (zugegeben zeitabhängigen) reellen Diffusionsgleichung gibt es eine Startverteilung zu einer ausgezeichneten Zeit. Bei der Welle ist das anders, wie die Wellengleichung mit ihrem Operator gerader Parität ${}_{\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}$ schon zeigt. Die Enveloppe muss längs der Achse von gerader Parität sein. Dies bedingt, dass die axiale Ableitung dies nicht ändert; das ist nur mit einer zweikomponentigen Enveloppe, dem Vektor ${}_{{\tbinom {gerade}{ungerade}}\mathrm {E} nveloppe}$ möglich, auf den der schiefsymmetrische Operator

${}_{\mathrm {i} \,\equiv \,{\bigl (}{\begin{smallmatrix}{0}&{{\vec {s}}\cdot \nabla }\\{-{\vec {s}}\cdot \nabla }&{0}\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ wirkt

${}_{\mathrm {i} \,{\tbinom {gerade}{ungerade}}\mathrm {E} nveloppe\,=\,{\tbinom {ungerade'}{-gerade'}}\mathrm {E} nveloppe}\,$.

Die Enveloppe muss eine gerade Funktion längs der Achse ${}_{{\vec {s}}^{2}}$ sein. Eine Verschiebung längs dieser Achse darf nicht zu einer ausgezeichneten Abszisse führen, hinter die man nicht zurückgehen kann, sondern nur zu einem Phasenfaktor.

Längenskalen

Das Problem enthält zwei Längenskalen: die Wellenlänge und die Rayleigh-Lände, die mit der radialen Skala $w_{0}$ durch ${}_{\,\!z_{R}\,=\,{\tfrac {1}{2}}kw_{0}^{2}}$ verknüpft ist.

Bei kleinen |z| wächst die Krümmung der transversalen Struktur linear mit |z|.

Strom und Dichte

${}_{\,\!\beta }$ mit der Wellenzahl $|k|\,$

$\omega ({\vec {k}})={\sqrt {m^{2}+\mathbf {k} ^{2}}}$