Trigonometrische Funktion

Die gebräuchlichsten trigonometrischen Funktionen sind

die Sinusfunktion (abgekürzt sin),

die Kosinusfunktion (abgekürzt cos) und

die Tangensfunktion (abgekürzt tan oder tg).

Die Kehrwerte der obigen Funktionen sind ebenfalls trigonometrische Funktionen, sie werden aber seltener benutzt:

Sekansfunktion (Kehrwert des Kosinus, sec x = 1/cos x)

Kosekansfunktion (Kehrwert des Sinus, csc x = 1/sin x) und

Kotangensfunktion (Kehrwert des Tangens, cot oder ctg).

Die trigonometrischen Funktionen sind in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik wichtig. Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion, die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird.

Die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin, arccos ... sind die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen. Bei ihnen ist wegen der Zweideutigkeit zu klären, in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt.

• Siehe http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/i.html#inverseWinkelfunktionen

Funktionale Zusammenhänge

Die Trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

$1+\cot ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x$

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

$\sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;180^{\circ }\right]$

$\sin x=-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$ für $x\in \left[180^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\sin x={\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\sin x=-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\cos x=-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$ für $x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]}

$\tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$ für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x\in \left[ 0^{\circ };\;180^{\circ }\right]}

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$\tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$ für $x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

Die Vorzeichen der Winkelfunktionen sind

sin x > 0 für $x\in \left]0^{\circ };\;180^{\circ }\right[$

sin x < 0 für $x\in \left]180^{\circ };\;360^{\circ }\right[$

cos x > 0 für $x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ };\;360^{\circ }\right[$

cos x < 0 für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x\in \left] 90^{\circ };\;270^{\circ }\right[}

tan x > 0 für $x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[180^{\circ };\;270^{\circ }\right[$

tan x < 0 für $x\in \left]90^{\circ };\;180^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right[$

Die Vorzeichen von cot, sec und csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan, cos bzw. sin.

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

$\sin(-x)=-\sin x$

$\cos(-x)=\cos x$

$\tan(-x)=-\tan x$

Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:

$\sin(x+y)=\sin x\;\cos y+\sin y\;\cos x$

$\sin(x-y)=\sin x\;\cos y-\sin y\;\cos x$

$\cos(x+y)=\cos y\;\cos x-\sin x\;\sin y$

$\cos(x-y)=\cos y\;\cos x+\sin x\;\sin y$

$\tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\;\tan y}}$

$\tan(x-y)={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\;\tan y}}$

$\cot \left(x+y\right)={\frac {\cot x\cot y-1}{\cot x+\cot y}}$

$\cot \left(x-y\right)={\frac {-\left(\cot x\cot y+1\right)}{\cot x-\cot y}}$

Für x=y folgen hieraus folgende Ausdrücke:

$\sin(2\;x)=2\sin x\;\cos x$

$\cos(2\;x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1$

$\tan(2\;x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}$

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln:

$\sin(x/2)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$

$\cos(x/2)={\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$

$\tan(x/2)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}$

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt aufgefasst werden kann:

$\sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$

$\sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

$\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$

$\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

Es gibt Reduktionsformeln, mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen, Quadrant