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Die gebräuchlichsten trigonometrischen Funktionen sind
die Sinusfunktion (abgekürzt sin),
die Kosinusfunktion (abgekürzt cos) und
die Tangensfunktion (abgekürzt tan oder tg). Die Kehrwerte der obigen Funktionen sind ebenfalls trigonometrische Funktionen,
sie werden aber seltener benutzt:
Sekansfunktion (Kehrwert des Kosinus, sec x = 1/cos x)Kosekansfunktion (Kehrwert des Sinus, csc x = 1/sin x) undKotangensfunktion (Kehrwert des Tangens, cot oder ctg).Die trigonometrischen Funktionen sind in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik wichtig.
Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion , die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird.
Die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin, arccos ... sind die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen. Bei ihnen ist wegen der Zweideutigkeit zu klären, in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt.
Die Trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
Mittels dieser zwei Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:
sin
x
=
1
−
cos
2
x
{\displaystyle \sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
sin
x
=
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin x={\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
cos
x
=
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
cos
x
=
1
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
tan
x
=
1
−
cos
2
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}}
tan
x
=
sin
x
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}}
Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin x}
cos
(
−
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos(-x)=\cos x}
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan x}
Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:
sin
(
x
+
y
)
=
sin
x
cos
y
+
sin
y
cos
x
{\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\;\cos y+\sin y\;\cos x}
sin
(
x
−
y
)
=
sin
x
cos
y
−
sin
y
cos
x
{\displaystyle \sin(x-y)=\sin x\;\cos y-\sin y\;\cos x}
cos
(
x
+
y
)
=
cos
y
cos
x
−
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x+y)=\cos y\;\cos x-\sin x\;\sin y}
cos
(
x
−
y
)
=
cos
y
cos
x
+
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x-y)=\cos y\;\cos x+\sin x\;\sin y}
tan
(
x
+
y
)
=
tan
x
+
tan
y
1
−
tan
x
tan
y
{\displaystyle \tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\;\tan y}}}
tan
(
x
−
y
)
=
tan
x
−
tan
y
1
+
tan
x
tan
y
{\displaystyle \tan(x-y)={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\;\tan y}}}
Für x =y folgen hieraus folgende Ausdrücke:
sin
(
2
x
)
=
2
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin(2\;x)=2\sin x\;\cos x}
cos
(
2
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
1
−
2
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
{\displaystyle \cos(2\;x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1}
tan
(
2
x
)
=
2
tan
x
1
−
tan
2
x
{\displaystyle \tan(2\;x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}
Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln :
sin
(
x
/
2
)
=
1
−
cos
(
x
)
2
{\displaystyle \sin(x/2)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}}
cos
(
x
/
2
)
=
1
+
cos
(
x
)
2
{\displaystyle \cos(x/2)={\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}}
tan
(
x
/
2
)
=
1
−
cos
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
=
1
−
cos
(
x
)
sin
(
x
)
=
sin
(
x
)
1
+
cos
(
x
)
{\displaystyle \tan(x/2)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}}
Es gibt Reduktionsformeln , mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.
Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen , Quadrant
