Matrixexponential

In der Mathematik ist das Matrixexponential eine Funktion auf der Menge der quadratischen Matrizen, welche analog zur reellen Exponentialfunktion definiert ist. Das Matrixexpontial stellt die Verbindung zwischen Liealgebra und der zugehörigen Liegruppe her.

Sei X eine reelle oder komplexe n×n-Matrix. Das Exponential von X, welches durch e^X oder exp(X) bezeichnet wird, ist die n×n-Matrix, welche durch die folgende Potenzreihe definiert ist.

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{X^{k} \over k!}.$

Diese Reihe konvergiert immer. Daher ist das Exponential von X wohldefiniert. Wenn X eine 1×1-Matrix ist, entspricht das Matrixexponential von X der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Eine Verallgemeinerung, welche auch für unendliche Matrizen sinnvoll ist, ist die Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren.

Eigenschaften

Das Matrixexponential teilt eine Reihe der Eigenschaften der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Beispielsweise ist das Exponential der n×n-Nullmatrix 0 gleich der n×n-Einheitsmatrix E:

$e^{0}=E\ .$

Für beliebige komplexe n×n-Matrizen X und beliebige komplexe Zahlen a und b gilt

$e^{aX}\cdot e^{bX}=e^{(a+b)X}\ .$

Daraus folgt

$e^{X}\cdot e^{-X}=e^{(1-1)X}=e^{0}=E\ ,$

d.h.

$\left(e^{X}\right)^{-1}=e^{-X}\ .$

Dabei bezeichnet $\left(e^{X}\right)^{-1}$ die zu $e^{X}$ inverse Matrix.

Die Exponentialfunktion erfüllt $e^{x+y}=e^{x}\,e^{y}$ für alle Zahlen x und y. Dasselbe gilt für kommutierende Matrizen X und Y, d.h. aus

$X\cdot Y=Y\cdot X$

folgt

$e^{X+Y}=e^{X}\cdot e^{Y}.\,$

Für nichtkommutierende Matrizen braucht diese Gleichung nicht zu gelten. In diesem Fall kann man $e^{X+Y}$ mit Hilfe der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel berechnen.

Das Exponential der zu X transponierten Matrix ist gleich der Transposition des Exponentials von X:

$\exp \left(X^{\mathrm {T} }\right)=\left(\exp X\right)^{\mathrm {T} }$

Daraus folgt, dass die Matrixexponentialfunktion symmetrische Matrizen auf symmetrische Matrizen und schiefsymmetrische Matrizen auf orthogonale Matrizen abbildet. Analog gilt zwischen Adjunktion und Transposition die Beziehung

$\exp \left(X^{*}\right)=\left(\exp X\right)^{*}\ ,$

so dass die Matrixexponentialfunktion hermitesche Matrizen auf hermitesche Matrizen und schiefhermitesche Matrizen auf unitäre Matrizen abbildet.

Weiterhin gilt:

• Wenn $Y$ invertierbar ist, dann ist $e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}$.
• $\det(e^{X})=e^{{\mbox{tr}}(X)}.$ Hier bezeichnet ${\mbox{tr}}(X)$ die Spur der quadratischen Matrix $X$.
• $e^{\operatorname {diag} (x_{1},\ldots ,x_{n})}=\operatorname {diag} \left(e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}}\right)$.

Die Exponentialabbildung

Das Exponential einer Matrix ist immer eine invertierbare Matrix. Die Inverse von e^X ist durch e^−X gegeben. Das (komplexe) Matrixexponential liefert somit eine Abbildung

$\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to {\mbox{GL}}(n,\mathbb {C} )$

aus dem Vektorraum aller (komplexen) n×n-Matrizen in die allgemeine lineare Gruppe, die Gruppe aller (komplexen) invertierbaren Matrizen. Diese Abbildung ist surjektiv, d.h. jede (reelle oder komplexe) invertierbare Matrix kann als die Exponentialmatrix einer komplexen (!) Matrix geschrieben werden. Der Matrixlogarithmus liefert die Umkehrung dieser Abbildung.

Für je zwei Matrizen X und Y, gilt

$\|e^{X+Y}-e^{X}\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},$

wobei || · || eine beliebiege Matrixnorm bezeichnet. Daraus folgt, dass die Exponentialabbildung stetig und auf kompakten Teilmengen von M_n(C) sogar lipschitzstetig ist. Für die Norm des Matrixexponentials selbst gibt es aber eine präzisere Schranke $\|e^{X}\|\leq e^{\mu (X)}$ mit der logarithmischen Norm $\mu (A)$ und dem Numerischen Wertebereich.

Die Zuordnung

$t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$

definiert eine glatte Kurve in der allgemeinen linearen Gruppe, welche für t = 0 die Einheitsmatrix liefert. Dies liefert eine Einparameter-Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, da

$e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}\,$

gilt. Die Ableitung dieser Funktion am Punkt t ist durch

${\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}.\qquad (1)$

gegeben. Die Ableitung für t = 0 ist gerade die Matrix X, d. h. X erzeugt diese Einparameter-Untergruppe.

Allgemeiner gilt:

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{(1-\alpha )X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{\alpha X(t)}d\alpha$

Beispiele von Liealgebren und zugehörigen Liegruppen

Liegruppe	Beispiel
Allgemeine lineare Gruppe: $\mathrm {GL} (n,K)$
Orthogonale Gruppe: $\mathrm {O} (n,K)$
Unitäre Gruppe: $\mathrm {U} (n)$
Spezielle unitäre Gruppe: $\mathrm {SU} (n)$	${\mathfrak {su}}(2)=\{X\in M_{2}(\mathbb {C} )\vert X^{*}=-X,\operatorname {tr} (X)=0\}$ wird von $\exp$ surjektiv auf $\mathrm {SU} (2)=\{A\in M_{2}(\mathbb {C} )\vert A^{*}=A^{-1},\det(A)=1\}$ abgebildet.
Spezielle orthogonale Gruppe: $\mathrm {SO} (n,K)$	${\mathfrak {o}}(n,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\vert X^{T}=-X\}$ (schiefsymmetrische Matrizen) wird von $\exp$ surjektiv auf $\mathrm {SO} (n,\mathbb {R} )=\{A\in M_{n}(\mathbb {R} )\vert A^{T}=A^{-1},\det(A)=1\}$ abgebildet.
Spezielle lineare Gruppe: $\mathrm {SL} (n,K)$	${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ wird von $\exp$ nicht surjektiv auf $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ abgebildet. Notorisches Gegenbeispiel ${\begin{pmatrix}-1&a\\0&-1\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ mit $a\neq 0$ liegt nicht im Bild von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$.

Aus dem letzten Beispiel ist ersichtlich, dass die Exponentialabbildung für die Erzeugung von Liegruppen (je nach Liealgebra) im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

Lineare Differentialgleichungen

Einer der Vorzüge des Matrixexponentials ist, dass man es benutzen kann, um Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen. Aus Gleichung (1) unten folgt zum Beispiel, dass die Lösung des Anfangswertproblems

${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},$

wobei A eine Matrix ist, durch

$y(t)=e^{At}y_{0}.\,$

gegeben ist. Das Matrixexponential kann auch zur Lösung der inhomogenen Gleichung

${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.$

verwendet werden. Beispiele findet man unten im Kapitel Anwendungen.

Für Differentialgleichungen der Form

${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},$

mit nicht-konstantem A gibt es keine geschlossenen Lösungen. Die Magnus-Reihe liefert jedoch eine Lösung als unendliche Summe.

Berechnung des Matrixexponentials

Diagonalisierbare Matrizen

Ist die Matrix A eine Diagonalmatrix

$A={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{pmatrix}},$

dann kann man ihr Exponential ermitteln, indem man die übliche Exponentialfunktion auf jeden Eintrag der Hauptdiagonalen anwendet:

$e^{A}={\begin{pmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{pmatrix}}.$

Damit kann man auch das Exponential diagonalisierbarer Matrizen berechnen. Wenn A = UDU⁻¹ mit einer Diagonalmatrix D ist, dann ist e^A = Ue^DU⁻¹.

Nilpotenter Fall

Eine Matrix N ist nilpotent, wenn N^q = 0 für eine geeignete natürliche Zahl q gilt. In diesem Fall kann das Matrixexponential e^N direkt aus der Reihenentwicklung berechnet werden, da die Reihe nach einer endlichen Anzahl von Termen abbricht:

$e^{N}=E+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}.$

Allgemeiner Fall

Eine beliebige Matrix X kann eindeutig in eine Summe

$X=A+N\,$

zerlegt werden, wobei

• A diagonalisierbar ist
• N nilpotent ist
• A mit N kommutiert (d.h. AN = NA)

Damit kann man das Exponential von X berechnen, indem man es auf die vorgenannten Fälle reduziert: $e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.\,$ Im letzten Schritt benötigt man die Kommutativität von A und N.

Eine andere (nah verwandte) Methode ist die Verwendung der Jordanschen Normalform von X. Sei J die Jordansche Normalform von X mit der Übergangsmatrix P, das heißt, es gilt

$e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.\,$

Wegen

$J=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),$

gilt

$e^{J}\,$	$=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}$
	$=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{k}}(\lambda _{k}){\big )}.$

Daher muss man nur das Exponential eines Jordan-Blocks kennen. Nun ist jeder Jordan-Block von der Form

$J_{a}(\lambda )=\lambda I+N\,$

wobei N eine spezielle nilpotente Matrix ist. Das Exponential des Jordan-Blocks ist also

$e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\,$

Leider ist die Jordan-Normalform-Zerlegung numerisch instabil, da aufgrund der Gleitkommaarithmetik Rundungsfehler in die Eigenwerte eingeführt werden, die eine Gruppierung der Eigenwerte in Gruppen identischer Eigenwerte unmöglich macht.

Numerische Verfahren

Einer der effektivsten verfügbaren Algorithmen ist die Padé-Approximation mit Skalieren und Quadrieren. Bei großen Matrizen kann der Rechenaufwand zusätzlich reduziert werden, indem Krylovräume verwendet werden, deren Basisvektoren mit dem Arnoldi-Verfahren orthogonalisiert worden sind.

Berechnung

Man betrachte die Matrix

$B={\begin{pmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{pmatrix}}$,

welche die Jordansche Normalform

$J={\begin{pmatrix}16&1&0\\0&16&0\\0&0&4\end{pmatrix}}$,

mit der Übergangsmatrix

$P={\begin{pmatrix}-1&1&{5 \over 8}\\1&-1&-{1 \over 8}\\0&2&0\end{pmatrix}}$

hat. Dann gilt

$J=J_{2}(16)\oplus J_{1}(4)$

und

$e^{B}=Pe^{J}P^{-1}=P(e^{J_{2}(16)}\oplus e^{J_{1}(4)})P^{-1}.$

Somit ist

$\exp \left[16E+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]=e^{16}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}+\cdots \right]={\begin{pmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{pmatrix}}$

Das Exponential einer 1×1-Matrix ist trivial. Mit e^J₁(4)=e⁴ folgt

$e^{B}=P{\begin{pmatrix}e^{16}&e^{16}&0\\0&e^{16}&0\\0&0&e^{4}\end{pmatrix}}P^{-1}={1 \over 4}{\begin{pmatrix}5e^{4}-e^{16}&5e^{4}-5e^{16}&-2e^{16}\\-e^{4}+e^{16}&-e^{4}+5e^{16}&2e^{16}\\0&0&4e^{16}\end{pmatrix}}$

Die Jordansche Normalform und daraus das Exponential zu berechnen, ist auf diesem Weg sehr mühsam. Meist reicht es, die Wirkung der Exponential-Matrix auf einige Vektoren zu berechnen.

Anwendungen

Lineare Differentialgleichungen

Das Matrixexponential kann für die Lösung eines System von Differentialgleichungen verwendet werden. Eine Differentialgleichung der Form

y′ = Cy

hat die Lösung e^Cx. Wenn man Vektor

$\mathbf {y} (x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\\vdots \\y_{n}(x)\end{pmatrix}}$

betrachtet, dann kann man ein System von gekoppelten linearen Differentialgleichung betrachten als

$\mathbf {y} '(x)=A\mathbf {y} (x)+\mathbf {b}$.

Wenn man den Integrationsfaktor e^−Ax ansetzt und auf beiden Seiten multipliziert, erhält man

$e^{-Ax}\mathbf {y} '(x)-e^{-Ax}A\mathbf {y} =e^{-Ax}\mathbf {b}$

$D(e^{-Ax}\mathbf {y} )=e^{-Ax}\mathbf {b}$

Wenn man e^Ax berechnet, erhält man eine Lösung des Differentialgleichungssystems.

Beispiel (homogen)

Gegeben seien folgende Differentialgleichungen

${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}$

Die zugehörige Matrix ist

$M={\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{pmatrix}}$

Daraus errechnen wir das zugehörige Matrixexponential

$e^{tM}={\begin{pmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{pmatrix}}$

Damit ist die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=C_{1}{\begin{pmatrix}2e^{t}-2te^{2t}\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{pmatrix}}+C_{2}{\begin{pmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{pmatrix}}+C_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\2e^{t}\end{pmatrix}}$

bzw.

${\begin{matrix}x&=&C_{1}(2e^{t}-2te^{2t})+C_{2}(-2te^{2t})\\y&=&C_{1}(-2e^{t}+2(t+1)e^{2t})+C_{2}(2(t+1)e^{2t})\\z&=&(C_{1}+C_{2})(2te^{2t})+2C_{3}e^{t}\end{matrix}}$

Inhomogener Fall - Variation der Konstanten

Für den inhomogenen Fall kann man eine Methode ähnlich der Variation der Konstanten benutzen. Es wird ein Lösung der Form y_p(t)=exp(tA)z(t) gesucht:

$\mathbf {y} _{p}'=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)$

$=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)$

$=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)$

Um die Lösung y_p zu ermitteln, setzt man

$e^{tA}\mathbf {z} '(t)=\mathbf {b} (t)$

$\mathbf {z} '(t)=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)$

$\mathbf {z} (t)=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c}$

Damit ergibt sich

$\mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c}$

$=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c}$,

wobei c durch die Anfangsbedingungen bestimmt wird.

hello world

Beispiel (inhomogen)

Gegeben sei das System von Differentialgleichungen

${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z&+e^{2t}\\y'&=&&3y&-1z&\\z'&=&2x&+y&+3z&+e^{2t}\end{matrix}}$

Damit ergibt sich folgende Matrix

$M={\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{pmatrix}}$

und

$\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$

Von oben kennen wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.

Die Summe aus homogenen und speziellen Lösungen ergeben die Lösung für das inhomogene Problem. Man muss jetzt nur noch die spezielle Lösung finden (über die Variation der Konstanten).

Von der Gleichung oben erhält man:

$\mathbf {y} _{p}=e^{t}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{pmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{pmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}$

$\mathbf {y} _{p}=e^{t}\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{pmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c}$

$\mathbf {y} _{p}=e^{t}\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}e^{2u}(2e^{u}-2ue^{2u})\\\\e^{2u}(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u})\\\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{pmatrix}}+e^{tA}\mathbf {c}$

$\mathbf {y} _{p}=e^{t}{\begin{pmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$,

welche weiter vereinfacht werden kann, um die notwendige spezielle Lösung durch Variation der Konstanten zu bestimmen.

Siehe auch

• Exponentialfunktion

Literatur

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-46713-6 (englisch).
• Arnolʹd, V. I. "Gewöhnliche Differentialgleichungen." Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. 275 pp. ISBN: 3-540-09216-1