Simplex (Mathematik)

Ein 3-Simplex oder Tetraeder

Das (oder manchmal auch der) Simplex oder n-Simplex (Mehrzahl: Simplexe, Simplizia, Simplices oder Simplizes) ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt einen $n$-dimensionalen Körper (eigentlich ein Polytop).

Dabei ist ein Simplex das einfachste Polytop – jeder seiner Punkte erweitert es in eine andere Dimension, so dass ein $n$-dimensionales Simplex $n+1$ Ecken besitzt. Man erzeugt ein $n$-Simplex aus einem $(n-1)$-Simplex, indem man einen Punkt in einer weiteren Dimension hinzunimmt und alle Ecken des niedrigerdimensionalen Simplex mit diesem Punkt verbindet. Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder. Ein $n$-Simplex ist die Fortsetzung dieser Reihe auf $n$ Dimensionen.

Definition

Sei $k\leq n$ und seien $v_{0},\ldots ,v_{k}$ Punkte eines Vektorraums. Man sagt, diese Punkte sind in allgemeiner Lage, falls es keinen $(k-1)$-dimensionalen affinen Unterraum $V\subset \mathbb {R} ^{n}$ gibt, in dem die $k+1$ Punkte liegen. Eine äquivalente Formulierung ist: Die Menge $\{v_{1}-v_{0},\ldots ,v_{k}-v_{0}\}$ ist linear unabhängig.

Seien nun $v_{0},\ldots ,v_{k}$ Punkte in allgemeiner Lage im $\mathbb {R} ^{n}$, ein Simplex ist die Menge aller Punkte der Form

$\Delta =\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x=\sum _{i=0}^{k}t_{i}v_{i}\ {\text{mit}}\ 0\leq t_{i}\leq 1\ {\text{und}}\ \sum _{i=0}^{k}t_{i}=1\right\},$

versehen mit der Unterraumtopologie. Die Punkte $v_{i}$ werden Vertex oder Eckpunkte genannt und k ist die Dimension des Simplex. Ein Simplex der Dimension k wird auch kurz k-Simplex genannt. Eine äquivalente Definition eines Simplex lautet: Ein Simplex ist die konvexe Hülle seiner Eckpunkte.

Es sei $\Delta$ ein Simplex. Jedes Simplex, welches durch eine nicht leere Teilmenge der Eckpunkte von $\Delta$ aufgespannt wird, heißt Facette oder Untersimplex von $\Delta$. Die nulldimensionalen Facetten sind gerade die Eckpunkte, die 1-Facetten sind Kanten und die $(n-1)$-Facetten werden Seitenflächen genannt. Die Anzahl der $d$-Facetten des $k$-Simplex ist gleich dem Binomialkoeffizienten ${\tbinom {k+1}{d+1}}$.

Das $n$-Simplex ist das einfachste $n$-dimensionale Polytop, gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das Simplex-Verfahren aus der linearen Optimierung und genauso das Downhill-Simplex-Verfahren in der nichtlinearen Optimierung benannt.

Beispiel

• Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder (vier Ecken, vier Seitenflächen aus Dreiecken, sechs Kanten); er wird erzeugt aus einem Dreieck (2-Simplex), zu dem ein Punkt, welcher nicht in der Dreiecksebene liegt, hinzugenommen und mit allen Ecken des Dreiecks verbunden wird.
• Ein Modell eines $n$-Simplex im $\mathbb {R} ^{n}$ (und zwar eines mit rechtwinkliger Ecke im Ursprung) ist durch

$\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{i}\geq 0,\,x_{1}+\dotsb +x_{n}\leq 1\}$

gegeben. Dieses Simplex heißt Einheitssimplex.

Simplexe mit einer rechtwinkligen Ecke

Eine rechtwinklige Ecke bedeutet hier, dass je 2 in dieser Ecke zusammenlaufende Kanten einen rechten Winkel bilden. Oder anders ausgedrückt, das $n$-Simplex hat eine Ecke, an der seine an ihr anliegenden $n$-dimensionalen Hyperflächen zueinander orthogonal sind. Ein solches Simplex stellt eine Verallgemeinerung rechtwinkliger Dreiecke dar und in ihm gilt eine n-dimensionale Version des Satzes von Pythagoras:

Die Summe der quadrierten $n-1$-dimensionalen Volumen der an der rechtwinkligen Ecke anliegenden Hyperflächen ist gleich dem quadrierten $n-1$-dimensionalen Volumen der der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegenden Hyperfläche. Es gilt also

$\sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}.$

Hierbei sind die Hyperflächen $A_{1}\ldots A_{n}$ paarweise orthogonal zueinander aber nicht orthogonal zu der Hyperfläche $A_{0}$, die der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegt.

Im Falle eines 2-Simplex entspricht dies einem rechtwinkligen Dreieck und dem Satz des Pythagoras und bei einem 3-Simplex einem Tetraeder mit einer Würfelecke und dem Satz von de Gua.

Simplizialkomplex

Ein euklidischer Simplizialkomplex ist eine Menge $K$ von Simplizes, welche die folgenden Eigenschaften erfüllen

1. Sei $\Delta \in K$, dann ist jede Facette ebenfalls in $K$.
2. Der Schnitt von zwei Simplizes ist leer oder eine Facette beider Simplizes.
3. Jeder Punkt eines Simplex aus $K$ hat eine Umgebung, welche höchstens endlich viele Simplizes aus $K$ schneidet.

Die Vereinigung aller Simplizes aus $K$ zusammen mit der Unterraumtopologie heißt das Polyeder von $K$. Siehe auch unter Komplex.

Anwendung

Eine Anwendung findet sich im Downhill-Simplex-Verfahren. Das ist ein Optimierungsverfahren, bei dem man $n$ Parameterwerte finden will, indem man sie so lange variiert, bis die Abweichung zwischen Messwerten und einer Theoriefunktion, die von diesen Parametern abhängt, minimal wird. Dazu wird im n-dimensionalen Parameterraum ein Simplex aus Parametersätzen aufgespannt, für jeden Punkt des Simplex die Fehlerfunktion berechnet und dann im Laufe des Algorithmus der jeweils „schlechteste“ dieser Punkte durch einen (hoffentlich) „besseren“ (mit kleinerem Fehlerwert) ersetzt, so lange, bis ein Konvergenz- oder sonstiges Abbruchkriterium erfüllt ist.

(Abstrakter) Simplizialkomplex

Ein abstrakter Simplizialkomplex ${\mathcal {K}}$ ist eine endliche Zusammenstellung von Mengen, welche (abstrakte) Simplizes genannt werden, und die folgende Eigenschaft erfüllt:

• Sei $\Delta \in {\mathcal {K}}$, so ist auch jede nicht leere Teilmenge von $\Delta$ in ${\mathcal {K}}$ enthalten.

Jedes Element eines Simplex heißt Ecke und jede nicht leere Teilmenge heißt Facette. Die Dimension eines (abstrakten) Simplex mit $k+1$ Ecken ist definiert als $k$. Die Dimension eines Simplizialkomplexes ist definiert als das Maximum der Dimensionen der enthaltenden Simplizes. Falls der Komplex Simplizes mit beliebig hoher Dimension enthält, so heißt der Simplizialkomplex unendlichdimensional.

Literatur

• John M. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95026-5