Archimedisches Axiom

Im Rahmen der Geometrie formulierte Archimedes das sich auf die Anordnung beziehende Axiom:

Zu je zwei Zahlen $y>x>0$ existiert eine Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $nx>y$ .

Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt.

Ein (an)geordneter Körper, in welchem das Archimedische Axiom gilt, heißt archimedisch (an)geordnet.

Für den Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen wird es oft axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings auch zuerst die Axiome eines geordneten Körpers und zusätzlich das Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) fordern und zeigen, dass daraus bereits das Archimedische Axiom folgt.

Beweis aus dem Supremumsaxiom für einen geordneten Körper

Es sei $x>0.$

Behauptung: Für jedes $y>x$ gibt es eine natürliche Zahl $n$ , so dass $nx>y$ gilt.

Gegenannahme: Es gibt ein $y>0$ , so dass $nx\leq y$ für alle natürlichen Zahlen $n.$

Dann ist $y$ eine obere Schranke für $nx$ . Aus dem Supremumsaxiom folgt die Existenz einer kleinsten oberen Schranke $y_{0}$ . Weil nun $y_{0}-x<y_{0}$ , ist $y_{0}-x$ keine obere Schranke, also gibt es eine natürliche Zahl $m$ , so dass

y_{0}-x<mx

gilt. Damit ist aber

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („/media/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination“): {\displaystyle y_{0}<(m+1)x,}

womit die Gegenannahme falsch war und die Behauptung bewiesen ist.

Folgerungen aus dem Archimedischen Axiom

Zu jeder Zahl $x\in \mathbb {R}$ gibt es $n_{1},n_{2}\in \mathbb {N}$ , so dass $n_{1}>x$ und $-n_{2}<x$ . Daraus folgt: Zu jedem $x\in \mathbb {R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $n\in \mathbb {Z}$ mit