Untergruppe

In der Gruppentheorie der Mathematik wird eine Untergruppe $(U,\circ )$ einer Gruppe $(G,\circ )$ von einer nichtleeren Teilmenge U von G gebildet, die bezüglich $\circ$ selbst wieder eine Gruppe ist (d. h. alle Eigenschaften hat, die eine Gruppe definieren). Die Eigenschaft „Assoziativität“ überträgt sich auf jede Teilmenge von G, aber nicht unbedingt die Eigenschaften „Abgeschlossenheit“, „Neutrales Element“ und „Inverses Element“, d. h. nicht jede nichtleere Teilmenge U' von G bildet eine Untergruppe $(U',\circ )$.

Äquivalente Definitionen

Eine nichtleere Teilmenge $U$ von $G$ bildet eine Untergruppe $(U,\circ )$ von $(G,\circ )$ genau dann, wenn zu zwei beliebigen Elementen in $U$ auch deren Verknüpfung in $U$ ist, und zu jedem Element in $U$ auch dessen Inverses in $U$ ist:

• $a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U$
• $a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U$

Ein weiteres äquivalentes Kriterium: Die nichtleere Teilmenge $U$ von $G$ ist genau dann eine Untergruppe von $G$, wenn:

• $a\in U\Rightarrow a\circ a^{-1}\in U$

Aus beiden Kriterien folgt auch, dass das neutrale Element $e$ von $G$ in U enthalten sein muss.

Je nach Art der Verknüpfung ist es einfacher, das erste oder das zweite Kriterium zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft zu verwenden.

Erzeugung einer Untergruppe

Eine Teilmenge $E\subseteq G$ einer Gruppe $(G,\circ )$ erzeugt eine Untergruppe $\langle E\rangle$ von $G$. $\langle E\rangle$ ist also die kleinste Untergruppe von $(G,\circ )$, die alle Elemente aus $E$ enthält. Man kann zeigen, dass $\langle E\rangle$ aus dem neutralen Element $e$ von $G$ und allen Verknüpfungen von endlich vielen $a_{i}\in G$, die selbst oder deren Inverse in $E$ sind, besteht:

$\langle E\rangle =\{e\}\cup \{a_{1}\circ a_{2}\circ ...\circ a_{n}|n\in \mathbb {N} ^{*}\wedge \forall \;1\leq i\leq n:(a_{i}\in E\vee a_{i}^{-1}\in E)\}$

Wenn $E$ nur ein Element $g$ enthält, schreibt man die erzeugte Untergruppe oft als $\langle g\rangle$ statt $\langle \{g\}\rangle$, und sie ist zyklisch. Sie enthält genau die ganzzahligen Potenzen von $g$:

$\langle g\rangle :=\{g^{z}|z\in \mathbb {Z} \}$,

wobei

• $g^{0}\;:=\;e$
• $g^{z+1}\;:=\;g^{z}\circ g$
• $g^{z-1}\;:=\;g^{z}\circ g^{-1}$

Die Gruppenordnung $|\langle g\rangle |$ der Untergruppe ist gleich der Ordnung des erzeugenden Elements $g$.

Beispiele

• Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.
• Die Menge der Permutationen $\{{\mbox{id}},(3\ 2\ 1),(3\ 1\ 2)\}$ ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_{3}$.
• $(\{e\},\circ )$, also eine Gruppe mit einer beliebigen Verknüpfung und der Menge, die nur aus dem jeweiligen neutralen Element besteht, ist Untergruppe jeder anderen Gruppe, die diese Verknüpfung teilt.

Eigenschaften

Von einer Gruppe $G$ sind stets $G$ selbst sowie die einelementige Gruppe $\{e\}$ Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von $G$ genannt. Im Fall $G=\{e\}$ sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen $G\neq \{e\}$ haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe $G$ bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen $\{e\}$ und $G$ entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes.

Satz von Lagrange: Die Kardinalität jeder Untergruppe $U$ einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe $G$. (Der Quotient ist der Index der Untergruppe.)

Ist beispielsweise $|G|$ eine Primzahl, so kann die Kardinalität einer Untergruppe $U$ nur 1 oder $|G|$ betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von $G$.

Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Sie dienen der Erzeugung von Faktorgruppen.

Ist $A$ Untergruppe einer Gruppe $B$, die ihrerseits Untergruppe von $C$ ist, dann ist $A$ auch Untergruppe von $C$. (Die entsprechende Aussage für Normalteiler gilt nicht.)

Der Durchschnitt von beliebigen Untergruppen einer Gruppe $G$ ist eine Untergruppe von $G$.

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9

Weblinks

• Untergruppe in der Encyclopaedia of Mathematics (engl.)