Cournotscher Punkt

Der cournotsche Punkt ist das nach dem frz. Nationalökonomen Antoine Augustin Cournot (*1801, †1877) benannte Gewinnmaximum eines Monopolunternehmens, errechnet aus einer Kombination von verkaufter Menge und dem verlangten Preis eines Gutes.

Berechnung des cournotschen Punkts (C) mit gewinnmaximalem Preis ($p_{c}$) und gewinnmaximaler Absatzmenge ($x_{c}$):

Datei:Cournotscher Punkt.png

cournotscher Punkt graphisch

Im Gegensatz zum Unternehmen im vollkommener Wettbewerb, das für sein Produkt einen festen Marktpreis akzeptieren muss, kann der Monopolist den Verkaufspreis festsetzen. Der Käufer reagiert dann mit seiner Nachfrage. Für die Preisbildung gilt die Nachfragefunktion

$x=x(p),$

bzw. als Umkehrfunktion die Preis-Absatz-Funktion als

$p=p(x).$

Daraus bestimmt sich der Gesamterlös (oft E, hier Umsatz U) als Preis × Menge

$U(x)=p(x)x.$

Mit der Gesamtkostenfunktion K(x) erzielt das Unternehmen den Gewinn G(x) als

$G(x)=U(x)-K(x).$

Um den maximalen Gewinn zu ermitteln, wird die erste Ableitung von G(x) gebildet (d.h. G') und gleich Null gesetzt. Die ermittelten Nullstellen (bei S-förmigem Kostenverlauf oder anderen nicht linearen Gewinnverläufen) müssen nun in die zweite Ableitung eingesetzt werden. Die Nullstelle, bei der diese zweite Ableitung negativ ist, ist die gewinnmaximale Ausbringungsmenge x_c, die den cournotschen Punkt definiert. Um nun den cournotschen Punkt zu erhalten, wird der zu x_c gehörende Preis p_c aus der Preis-Absatz-Funktion ermittelt.

Da man beim Maximieren der Gewinnfunktion wegen

$G'(x)=U'(x)-K'(x)=0$

auch

$U'(x)=K'(x)$

schreiben kann, folgt, dass sich der cournotsche Punkt auch berechnen lässt, indem man direkt die Grenzkosten $K'(x)$ dem Grenzerlös $U'(x)$ gleichsetzt. Der x-Wert des Schnittpunkts bildet die gewinnmaximale Absatzmenge $x_{c}$. Dieser muss in die Preis-Absatz-Funktion eingesetzt werden, um den gewinnmaximalen Preis $p_{c}$ zu bestimmen. Gewinnmaximale Absatzmenge und zugehöriger Preis bilden zusammen den cournotschen Punkt.

siehe auch Formelsammlung Wirtschaft

Beispiel

Ein monopolistisch agierendes Unternehmen produziert extraleichte Treckingschuhe. Diese werden in größeren Gebinden an Weiterverkäufer geliefert. Die Vertriebsleitung hat festgestellt, dass die Nachfrage x [Stück Gebinde] nach diesen Schuhen vom Preis p [GE] abhängt, und zwar mit der Nachfragefunktion

$x=x(p)=100-0,01p$.

Umgekehrt ergibt sich die Preis-Absatz-Funktion als

$p=p(x)=10.000-100x$.

D.h. dass er bei einem Preis von 10.000 € kein Paar mehr verkauft und trotz eines Preises von 0 € nivth mehr als 100 Paare verkauft (Prohibitivpreis).

Bewertet man die nachgefragte Menge x mit dem jeweilig gültigen Preis, erhält man den Umsatz als Funktion

$U=U(x)=xp(x)=10.000x-100x^{2}$.

Dem Unternehmen entstehen durch die Produktion der Treckingschuhe Gesamtkosten, die von der Ausbringungsmenge x [Stück Gebinde] abhängig sind. Die Kosten des Unternehmens lassen sich in der Kostenfunktion

$K=K(x)=50.000+3.000x$.

zusammenfassen. Der Gewinn berechnet sich dann als Umsatz – Kosten, also

$G=G(x)=U(x)-K(x)=10.000x-100x^{2}-50.000-3.000x$,

so dass man als Gewinnfunktion

$G(x)=7.000x-100x^{2}-50.000$

erhält.

Um das Gewinnmaximum im cournotschen Punkt zu erhalten, bestimmt man das Maximum der Gewinnfunktion durch differenzieren von G(x):

${\frac {dG}{dx}}=7.000-200x$.

Das Nullsetzen der Ableitung ergibt dann die Lösung: x_c=35 und G_c=72.500.

Da die zweite Ableitung

$G''=-200$

kleiner als Null ist, handelt es sich bei der Lösung um ein Gewinnmaximum.

Zur cournotschen Menge

$x_{c}=35$

gehört der cournotsche Preis

p(x)=10000-100x

p(35)=10000-100*35

$p_{c}=6500$.

Zum Preis von 6500 GE können also 35 Gebinde Schuhe verkauft werden. Damit erzielt das Unternehmen 72.500 GE Gewinn.