Reissner-Nordström-Metrik

Die Reissner-Nordström-Metrik (nach Hans Reissner und Gunnar Nordström) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und sphärisch-symmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen für elektrisch geladene, nicht-rotierende Schwarze Löcher.

Linienelement

Das Linienelement der Reissner-Nordström-Metrik hat die Form:

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}r^{2}}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} \theta ^{2})$

wobei $M$ die Masse und $Q$ die elektrische Ladung des Objektes sind. In den sogenannten natürlichen Einheiten wird $c=G=1$ gesetzt, sodass die Metrik auch in der Form

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}+\mathrm {d} \theta ^{2})$

geschrieben werden kann. Der Einfachheit halber wird eine elektrische Punktladung im Koordinatenursprung angenommen. Magnetische Felder und Kreisströme werden vernachlässigt. Das elektromagnetische Viererpotential ist somit ein Coulomb-Potential:

$A_{\alpha }=\left({\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r}},0,0,0\right)$

Horizonte und Singularitäten

Wie bei der Schwarzschild-Metrik liegt der Ereignishorizont bei demjenigen Radius, wo die Metrik singulär wird. Das bedeutet

$1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}=0$

Aufgrund der quadratischen Abhängigkeit vom Radius r finden sich jedoch zwei Lösungen dieser Gleichung. Daher gibt es einen Ereignishorizont bei $r_{+}$ und einen zusätzlichen Cauchy-Horizont bei $r_{-}$, der weiter innen liegt.

$r_{\pm }={\frac {GM}{c^{2}}}\pm {\frac {1}{2c^{2}}}{\sqrt {{\frac {G}{\pi \epsilon _{0}}}(4GM^{2}\pi \epsilon _{0}-Q^{2})}}$

Für den Fall

$|Q|=2M{\sqrt {G\pi \epsilon _{0}}}$

verschwindet die Wurzel in $r_{\pm }$ und die beiden Horizonte fallen zu einem einzelnen zusammen. Ist hingegen

$|Q|>2M{\sqrt {G\pi \epsilon _{0}}}$,

so ist die Wurzel imaginär, womit es keinen Horizont gibt. Man spricht in diesem Fall von einer nackten Singularität, die nach heutiger Auffassung allerdings nicht existieren kann ("Cosmic Censorship" Hypothese). Moderne supersymmetrische Theorien verbieten sie in der Regel.

Für $Q=0$ geht die Reissner-Nordström-Metrik in die Schwarzschild-Metrik über. ihre Singularitäten liegen dann bei $r=0$ und $r=2M$ ergeben.

In der Astrophysik spielen elektrisch geladene Schwarze Löcher (also auch die Kerr-Newman-Metrik) eine untergeordnete Rolle, weil man annimmt, dass jede Ladung des Loches recht schnell durch elektrische Ströme, nämlich die Akkretionsflüsse, neutralisiert wird.

Quellen

• Der Text basiert zum Teil auf der Übersetzung des englischen Artikels [1] - Version vom 17. Juni 2006.
• Andreas Müller - Lexikon der Astrophysik - Reissner-Nordstrøm-Lösung

Weblinks

• Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry