D’Alembert-Operator

Der d’Alembert-Operator $\Box$ (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein Differentialoperator, der sich aus der Verallgemeinerung des Gradienten im vierdimensionalen Minkowskiraum ergibt. Er wird auch Quabla, Viereckoperator, Box-Operator oder Wellenoperator genannt.

Definition

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) wird der Vierergradient, ein „kovarianter Vektor“, durch

\partial _{\mu }=\left(\partial _{ct},-\nabla \right)=\left(\partial _{ct},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)

.

definiert. Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Heraufziehen des kovarianten Index zu:

\partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }=\left(\partial _{ct},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)

Durch Kombination der beiden Operatoren lässt sich der lorentzinvariante d’Alembert-Operator bilden:

\Box :=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta

Er enthält nur zweite Ableitungen.

Vorzeichenkonventionen

Wie in der SRT üblich sind die Vorzeichen von der Signatur der Metrik abhängig. Oft wird - wie oben - in der SRT die Konvention (+,−,−,−) für die Signatur der Minkowski-Metrik verwendet, ansonsten benutzt man die Konvention (−,+,+,+). ^[1] Für die erste Signatur ergibt sich der d’Alembert-Operator, wie oben bereits gezeigt, zu:

\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta

Für die andere Signatur ergibt sich analog:

\Box =\Delta -{\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}

^[2]

Beide Ergebnisse sind gebräuchlich. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Als Konsequenz bleibt insbesondere festzuhalten, dass die Wellengleichung (siehe unten) nicht von der gewählten Konvention abhängt:

Wellengleichung

Ursprünglich kommt der d'Alembert-Operator aus der Elektrodynamik und ergibt sich bei der Herleitung der Wellengleichung. Hieran ist deutlich zu erkennen ^[3], dass es sich bei der Elektrodynamik um eine relativistische Theorie handelt. Zudem ist der d'Alembert-Operator ein Lorentz-Skalar und somit invariant unter Lorentz-Transformationen. Er spielt damit auch eine wichtige Rolle in der relativistischen Elektrodynamik. Unter Verwendung des d'Alembert-Operators kann für eine zweimal differenzierbare Funktion $f(x,t)$ die Wellengleichung in einer sehr kompakten Form geschrieben werden

\Box f=0

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ Sehr selten benutzt man auch die „komplexe“ Signatur (i,1,1,1), bei der wegen der formalen Identität i²=-1 kontravariante und kovariante Vektorkomponenten nicht explizit unterschieden werden müssen, sondern alles „wie in der elementaren Vektorrechnung“ zu funktionieren scheint, wofür man aber an anderer Stelle schwerwiegende Nachteile einhandelt.
↑ Dasselbe Ergebnis ergibt sich auch mit der gerade genannten „komplexen“ Signatur.
↑ Diese Erkenntnis wäre schon möglich gewesen, bevor Einsteins SRT entstand.

Literatur

Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik, 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag

[1] Sehr selten benutzt man auch die „komplexe“ Signatur (i,1,1,1), bei der wegen der formalen Identität i²=-1 kontravariante und kovariante Vektorkomponenten nicht explizit unterschieden werden müssen, sondern alles „wie in der elementaren Vektorrechnung“ zu funktionieren scheint, wofür man aber an anderer Stelle schwerwiegende Nachteile einhandelt.

[2] Dasselbe Ergebnis ergibt sich auch mit der gerade genannten „komplexen“ Signatur.

[3] Diese Erkenntnis wäre schon möglich gewesen, bevor Einsteins SRT entstand.

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