Bonsesche Ungleichung

Die Bonsesche Ungleichung ist ein Satz über das Wachstum der Primzahlen. Sie besagt, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt der kleineren Primzahlen. Gefunden und veröffentlicht wurde die Ungleichung von dem Münsteraner Studenten Bonse im Jahr 1907. Einem breiten Publikum nahe gebracht wurde sie durch das populärwissenschaftliche Mathematikbuch Von Zahlen und Figuren der beiden Mathematiker Hans Rademacher (1892–1969) und Otto Toeplitz (1881–1940).

Formal lautet die Bonsesche Ungleichung also:

In der Folge der Primzahlen ist für jede Primzahl ab der fünften Primzahl ${p_{5}=11}$ das jeweilige Quadrat kleiner als das Produkt aller vorherigen Primzahlen; in Formeln: Für $n=5,6,7,...$ ist stets

${p_{n}}^{2}<p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdots p_{n-1}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot ...\cdot p_{n-1}$.

Es ist also

${121=11^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}$.

${169=13^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}$.

${289=17^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030}$

usw.

Verschärfungen

Wie Rademacher und Toeplitz bemerken, gibt es bessere Ergebnisse als die Bonsesche Ungleichung; wie etwa eine von Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow gefundene Ungleichung, welche besagt, dass eine jede Primzahl kleiner als das Doppelte der jeweiligen Vorgängerprimzahl ist. Doch lassen sich diese besseren Ergebnisse nur mit kraftvollen Mitteln der höheren Mathematik beweisen, während Bonse für den Beweis seiner Ungleichung allein elementare Mittel benötigte.

Eine noch stärkere Einschränkung sagt sogar eine Primzahl zwischen zwei Quadratzahlen voraus. Dies ist als Legendresche Vermutung bekannt, die jedoch bisher nicht bewiesen werden konnte.

Referenzen

• Robert J. Betts: Using Bonse's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps. In: Journal of Integer Sequences 10, Art. 07.3.8, 2007. PDF