P-Gruppe

Für eine Primzahl p ist eine p-Gruppe in der Gruppentheorie eine Gruppe, in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von p ist. Das heißt, für jedes Element g der Gruppe gibt es eine natürliche Zahl n, so dass g hoch pⁿ gleich dem neutralen Element der Gruppe ist.

Beispiele

Sei p stets eine Primzahl.

Beispiele endlicher p-Gruppen:

• Die zyklische Gruppe C_p ist eine abelsche p-Gruppe.

• Das direkte Produkt C_p × C_p ist eine abelsche p-Gruppe (nicht isomorph zu C_p²).

• Die Diedergruppe D₈ ist eine nichtabelsche 2-Gruppe.

Keine p-Gruppe ist z.B. die zyklische Gruppe C₆, da sie Elemente der Ordnung 6 enthält, und 6 ist keine Primzahlpotenz.

Ebenso ist die symmetrische Gruppe S₃ keine p-Gruppe, da sie Elemente der Ordnung 2 und Elemente der Ordnung 3 enthält, und diese Ordnungen nicht Potenzen derselben Primzahl sind.

Eine unendliche p-Gruppe bildet folgendes Beispiel: Betrachte die Menge aller rationaler Zahlen der Form m/pⁿ mit natürlichen Zahlen m und n. Addieren wir diese Zahlen modulo 1, dann erhalten wir eine Gruppe G. Diese ist eine unendliche abelsche p-Gruppe.

Jede Gruppe, die zu G isomorph ist, heißt p^∞-Gruppe. Gruppen dieses Typs sind wichtig bei der Klassifikation unendlicher abelscher Gruppen.

Die p^∞-Gruppe kann auch beschrieben werden als die multiplikative Gruppe derjenigen komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine p-Potenz ist.

Eigenschaften

p-Gruppen sind spezielle Torsionsgruppen (dies sind Gruppen, in denen jedes Element endliche Ordnung hat).

Endliche p-Gruppen

Ist G eine endliche Gruppe, dann ist sie genau dann eine p-Gruppe, wenn ihre Ordnung (die Anzahl ihrer Elemente) selbst eine p-Potenz ist.

Das Zentrum einer endlichen p-Gruppe besteht nicht nur aus dem neutralen Element. Das zeigt man mit der Bahnenformel für die Konjugation.

Im Spezialfall einer Gruppe der Ordnung p² kann man sogar noch mehr sagen: In diesem Fall ist die Gruppe abelsch. Man zeigt das, indem man allgemeiner beweist, dass die Faktorgruppe G/Z(G) der Gruppe modulo dem Zentrum nur dann eine zyklische Gruppe ist, wenn sie die triviale (einelementige) Gruppe {e} ist.

Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent und auflösbar.

p-Gruppen derselben Ordnung müssen nicht isomorph sein, z.B. sind die zyklische Gruppe C₄ und die Kleinsche Vierergruppe beides 2-Gruppen der Ordnung 4, aber nicht zueinander isomorph. Eine p-Gruppe muss auch nicht abelsch sein, z.B. ist die Diedergruppe D₈ eine nichtabelsche 2-Gruppe.

Jede nichttriviale endliche Gruppe enthält eine Untergruppe, die p-Gruppe ist. Details dazu sind im Artikel Sylow-Sätze beschrieben.

In einem bestimmten Sinne sind fast alle endlichen Gruppen p-Gruppen, sie sind sogar fast alle 2-Gruppen: Fixiert man eine natürliche Zahl n und wählt dann gleichverteilt aus der Liste aller Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung kleinergleich n, dann konvergiert die Wahrscheinlichkeit, eine 2-Gruppe zu wählen, gegen 1, wenn n gegen unendlich geht. Zum Beispiel liegt die Wahrscheinlichkeit, unter allen Gruppen der Ordnung kleinergleich 2000 eine 2-Gruppe der Ordnung 1024 zu ziehen, bei über 99%.