Planimeter
Ein Planimeter (wegen seiner Form in Fachkreisen auch "Mogelkutsche" genannt) ist ein Messgerät zur Ermittlung beliebiger Flächeninhalte in Landkarten oder Zeichnungen. Man umfährt die gewünschte Fläche im Uhrzeigersinn mit der Lupe eines Fahrstiftes, wobei ein Messrad die Fläche integriert.
Die zu messenden Flächen können beliebige Form haben (unregelmäßige Polygone, amorphe Flächen, Schichtenlinien oder Grundstücke), müssen aber kleiner sein als der doppelte "Fahrarm" (meist 20-30 cm). Die Genauigkeit liegt bei 1 Promille, bei speziellen Geräten auch höher.
Das Polarplanimeter
Es gibt verschiedene Arten von Planimetern wie Polarplanimeter, Schneiden- und Rollenplanimeter, von denen das erstere am meisten verbreitet ist.
Das Gerät hat einen festen Pol, der in die Nähe der zu messenden Fläche gesetzt wird. Dann fährt man den Rand der Fläche möglichst genau ab, was z.B. auf Landkarten oder Katasterplänen mit etwa 0,1 bis 0,3 mm möglich ist.
Die mechanischer Konstruktion von Polarplanimetern fußt auf einem Prinzip von Leonhard Euler, das der bekannte Mathematiker für die Berechnung infinitesimaler Flächen entwickelt hat.
Eulers Prinzip besagt, dass eine unendlich kleine Fläche aus einem unendlich kleinen Parallelogramm plus einer unendlich kleinen Dreiecksfläche zusammensetzbar ist. Die Dreiecksfläche wiederum besteht aus einem Radius sowie einem unendlich kleinen (infinitesimalen) Winkel.
Im Planimeter werden nun während der Umfahrung der Fläche mit dem Messfühler oder einer Messlupe die kleinen Winkel fortlaufende aufsummiert.
An einer Skala, die mit einem Nonius oder einer anderen optischen Einrichtung zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit versehen ist, kann der Flächeninhalt direkt abgelesen werden.
Die Genauigkeit der Flächenbestimmung kann innerhalb gewisser Grenzen noch gesteigert werden, indem man die zu bestimmende Fläche vergrößert und nach der Planimetrierung das Resultat durch das Quadrat des linearen Vergrößerungsfaktors dividiert.
Die Anwendung des Verfahrens ist nur durch die Baugröße des Planimeters beschränkt. Bei sehr großen Flächen kann man jedoch den Pol in deren Mitte setzten (Verfahren "Pol innen"), womit sie fast 4 mal so groß sein kann wie beim normalen Modus "Pol außen".
Literatur
- Felix Klein: Elementarmathematik vom Höheren Standpunkte aus, 3 Teile. Vorlesungen gehalten 1907–1908. Leipzig: Teubner.