Logarithmentafel

Logarithmentafel nennt man eine tabellarische Darstellung der Mantissen der Logarithmen (meist zur Basis 10) der Zahlen, in der Regel von 1,00 bis 9,99. Einfache fünfstellige Logarithmentafeln sind so aufgebaut, dass die ersten beiden Ziffern (also 10 bis 99) den linken Tabellenrand bilden, während die dritte Ziffer (0 bis 9) als Spaltenüberschrift dient.

Der Zahlenbereich von 1,00 bis 9,99 genügt, da sich zur Basis 10 daraus der Logarithmus jeder anderen Zahl leicht erzeugen lässt, verändert wird lediglich der Teil vor dem Komma. Beispiel: Der Logarithmus von 2 ist 0,30103; der Logarithmus von 20 ist 1,30103 und der Logarithmus von 200 ist 2,30103 ...

Eine der ersten Logarithmentafeln hat im Jahre 1620 Henry Briggs erstellt. Hier waren die Logarithmen der Zahlen von 1 bis 20.000 und von 90,000 bis 100,000 auf 14 Stellen genau aufgeführt.

Logarithmen zu Zahlen mit vier aktiven Stellen lassen sich durch lineare Interpolation ermitteln.

Bedeutung von Logarithmentafeln

Logarithmentafeln erlauben es, die Multiplikation und Division von Zahlen auf die einfachere Addition und Subtraktion zurückzuführen. Bevor es mechanische oder elektrische Rechenmaschinen gab, erleichterten Logarithmentafeln das Rechnen. Das Produkt zweier Zahlen, a und b, wird aufgrund

$\log a\cdot b=\log a+\log b$

dadurch berechnet, dass der Logarithmus der Zahl a und derjenige der Zahl b in der Tabelle nachgeschlagen wird. Die Summe der beiden Logarithmen wird gebildet, und in der Tabelle gesucht. Die diese Summe als Logarithmus ergebende Zahl ist dann das Produkt von a und b.

So lassen sich mit Hilfe einer Logarithmentafel weitere Rechenarten auf eine einfachere Addition bzw. Subtraktion,in manchen Fällen auch auf eine Multiplikation bzw. Addition zurückführen. Diese Rückführungen beruhen dabei auf den Logarithmengesetzen:

• $\log a\cdot b=\log a+\log b$

• ${\frac {\log a}{\log b}}=\log a-\log b$

• $\log(a^{x})=x\cdot \log a$

Erzeugen einer Logarithmentafel

Im folgenden wird beschrieben, wie man sich Logarithmen zur Basis 10 (oder jeder beliebigen anderen Basis) ohne Taschenrechner selbst erzeugen kann und wie dies auch historisch gemacht wurde. Benötigt werden schriftliche Addition und Division. Damit dies in absehbarar Zeit zu Erfolgen führt, soll die Genauigkeit nur drei Nachkommastellen betragen. (Der Erst-Autor dieses Artikels hat diese Aufgabe einmal mit einer 9. Klasse an einer Waldorfschule in drei Doppelstunden nebst Hausaufgaben durchgeführt).

1. Man erzeuge die Folge der Potenzen der Zahl 1,01 bis das Ergebnis 10 (die Basis) erreicht ist. D. h. wir beginnen mit der ersten Potenz (1,01), dann addieren wir die um zwei Stellen versetzte Zahl hinzu und erhalten die zweite Potenz: 1,01 + 0,0101 = 1,0201. So fahren wir fort, wobei wir nach der vierten Nachkommastelle runden: 3. Potenz ist 1,0303; 4. Potenz ist 1,0406; ... Beim Runden müssen die mathematischen Rundungsregeln beachtet werden. Beispiel: 11. Potenz ist 1,1155; dann ist die 12. Potenz 1,1155 + 0,0112 = 1,1267.
   Die 231. Potenz ist 9,959; die 232. Potenz ist 10,059.

2. Durch lineare Interpolation (für die 9. Klasse ggf. durch Streckenvergleich veranschaulichen) ergibt sich, dass 231,4 Schritte nötig wären, um genau 10,00 als Ergebnis zu erhalten.

3. Um z. B. den Logarithmus der Zahl 2 zu ermitteln, ist die 2,00 unter den Ergebnissen aufzusuchen. Sie liegt zwischen der 69. Potenz (1,9867) und der 70. Potenz von 1,01 (2,0066). Linear interpoliert ergibt sich 69,7. Der gesuchte Logarithmus ergibt sich durch (schriftliche) Divison: 69,7 : 231,4 = 0,3012.

Da der genaue Wert 0,30103 ist, ist die gewünschte Genauigkeit erreicht. Historisch wurde mit 1,000001 gearbeitet. Offenbar waren studentische Hilfsknechte damals billig zu haben.

Siehe auch: Dekadischer Logarithmus