Leere Menge
Leere Menge ist ein Begriff aus der Mengenlehre.
Eine Menge ist dann leer, wenn sie keine Elemente enthält. Da Mengen gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben, gibt es nur eine einzige Menge, die leer ist – die leere Menge.
Zwei Mengen, deren Durchschnitt leer (die leere Menge) ist, werden disjunkt (oder elementfremd) genannt.
Notation
Als Zeichen für die leere Menge hat sich das von Nicolas Bourbaki verwendete Zeichen Symbol (ein durchgestrichener Kreis) weitgehend durchgesetzt (TeX: \varnothing).
Eine typographische Variante davon ist (eine durchgestrichene Null), die vor allem in mit Standard-TeX gesetzten Texte vorkommt (TeX: \emptyset).
Bei Verwendung von Unicode sieht das Symbol folgendermaßen aus: ∅ (html: & #x2205; oder & empty;)
Als typographischer Ersatz dient oft auch der skandinavische Buchstabe "Ø": ø oder Ø (ein durchgestrichenes o bzw. O),
manchmal – wegen des ähnlichen Aussehens – auch eine Variante des griechischen Buchstabens "φ": (TeX: \phi) (statt = Tex \varphi), mit dem es jedoch nicht verwechselt werden sollte.
In manchen älteren Büchern wird auch 0 (Null) verwendet.
In der Schulmathematik schließlich wird oft {} (leere Mengenklammern) geschrieben.
Eigenschaften
Die leere Menge kann daher wie folgt definiert werden:
Das heißt: M ist die leere Menge, wenn für jedes denkbare Objekt gilt, dass es nicht Element von M ist.
Da die leere Menge keine Elemente hat, sind Eigenschaften der Art
- „für alle Elemente der Menge gilt…“
für die leere Menge trivialerweise erfüllt, da es keine Elemente gibt, für die die fragliche Eigenschaft nachgeprüft werden müsste.
Kardinalzahl der leeren Menge
Die leere Menge ist die einzige Menge mit der Mächtigkeit null:
Sie ist daher auch der einzige Repräsentant der Kardinalzahl 0 und der Ordinalzahl 0.
Aus der Definition der leeren Menge ergeben sich unter anderem die folgenden Eigenschaften:
- Für jede Menge ist die leere Menge eine Teilmenge:
- Jede Menge bleibt bei Vereinigung mit der leeren Menge unverändert:
- Für jede Menge ist der Durchschnitt mit der leeren Menge die leere Menge:
- Für jede Menge ist das kartesische Produkt mit der leeren Menge die leere Menge:
- Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge:
- Daher ist die Potenzmenge der leeren Menge die Menge , die genau ein Element hat.
- Für jede widersprüchliche Aussage oder nicht erfüllbare Eigenschaft A(x) gilt:
- z.B.,
