Geosynchrone Umlaufbahn

Die Umlaufbahn eines Satelliten heißt geosynchron, wenn seine Umlaufzeit um die Erde exakt der Rotationsdauer der Erde um ihre eigene Achse (23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = 1 siderischer Tag) entspricht.

Geosynchrone Umlaufbahnen können stark elliptisch sein und müssen nicht parallel zum Äquator verlaufen.

Der Spezialfall einer geosychronen Umlaufbahn, die keine Exzentrizität hat, also kreisförmig ist, und genau parallel über dem Äquator verläuft, heißt geostationär. Ihre Höhe über dem Äquator beträgt 35.786 Kilometer, die Bahngeschwindigkeit 3.074,689 Meter pro Sekunde.

Von der Erde aus betrachtet scheint ein geostationärer Satellit am Himmel still zu stehen, da sich der Beobachter auf der Erde mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegt wie der Satellit. Deswegen wird diese Umlaufbahn häufig für Fernseh- und Kommunikationssatelliten verwendet, da die Antennen auf dem Boden fest auf einen bestimmten Punkt ausgerichtet werden können.

Im 1928 erschienenen Buch Das Problem der Befahrung des Weltraums - der Raketenmotor von Herman Potočnik findet sich die erste Veröffentlichung dieser Idee.

Formeln

Um einen Körper der Masse m mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn mit dem Radius r zu halten, ist eine Zentripetalkraft der Stärke

$F_{1}=m\omega ^{2}r$

erforderlich, die gerade so groß ist, dass sie die Zentrifugalkraft aufhebt, welche auf den Körper aufgrund der Kreisbewegung einwirkt. Auf einer Kreisbahn um einen Planeten herum, ist die Zentripetalkraft die Schwerkraft, welche im Abstand r - vom Mittelpunkt des Planeten ausgehend - die Stärke

$F_{2}={\frac {GMm}{r^{2}}}$

besitzt, wobei G die Gravitationskonstante und M die Masse des Planeten bezeichnet.

Die Umlaufbahn ist nur dann stabil, wenn die beiden Kräfte gleich sind. Es muss also gelten

$F_{1}=F_{2}$

$m\omega ^{2}r={\frac {GMm}{r^{2}}}$

Auflösen nach r ergibt

$r={\sqrt[{3}]{G{\frac {M}{\omega ^{2}}}}}$

Die Kreisfrequenz ω ergibt sich aus der Umdrehungsdauer t als

$\omega ={\frac {2\pi }{t}}$

Einsetzen in die Formel für r ergibt

$r={\sqrt[{3}]{{\frac {G}{4\pi ^{2}}}Mt^{2}}}$

Diese Formel bestimmt nun den Radius der geostationären Umlaufbahn eines Massenschwerpunktes vom Mittelpunkt des betrachteten Planeten ausgehend. Um die Entfernung der Bahn von der Oberfläche des Planeten - also beispielsweise die Höhe eines geostationären Satelliten - zu erhalten, muss der Radius vom Ergebnis subtrahiert werden. Somit haben wir einfach

$h={\sqrt[{3}]{{\frac {G}{4\pi ^{2}}}Mt^{2}}}-R_{P}$

wobei R_P den Radius des Planeten bezeichnet.

Für einen geostationären Mond oder ein anderes Objekt, welches selbst eine gewisse Ausdehnung besitzt, ist die obige Formel die selbe; um jedoch den Abstand von der Oberfläche eines Planeten zu der Oberfläche eines solchen Mondes zu erhalten, muss zusätzlich zu dem Radius des Planeten noch der Radius des Mondes subtrahiert werden. Ganz allgemein gilt also

$h={\sqrt[{3}]{{\frac {G}{4\pi ^{2}}}Mt^{2}}}-(R_{P}+R_{M})$

wobei R_M den Radius des Mondes bezeichnet.

Berechnung

Aus

${\begin{matrix}G=6{,}674\cdot 10^{-11}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \\\pi =3{,}141\end{matrix}}$

ergibt sich

${\frac {G}{4\pi ^{2}}}=1{,}691\cdot 10^{-12}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}}$

Die Formel lautet also

$r={\sqrt[{3}]{1{,}691\cdot 10^{-12}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad Mt^{2}}}$

oder

$r=1{,}191\cdot 10^{-4}\ {\sqrt[{3}]{1\ \mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad Mt^{2}}}$

Für die Erde mit der Erdmasse M = 5,9736 · 10²⁴ kg und der Rotationsdauer 23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = (23 * 60 + 56) * 60 + 4,09 Sekunden = 86164,09 Sekunden gilt:

$r=1{,}191\cdot 10^{-4}\ {\sqrt[{3}]{1\ \mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} \quad 5{,}9736\cdot 10^{24}\ \mathrm {kg} \ (86164,09\ \mathrm {s} )^{2}}}$

$=42175000\ \mathrm {m}$

$=42175\ \mathrm {km}$

vom Erdmittelpunkt. Abzüglich dem Erdradius R=6371 Km also r=35786 Km von der Erdoberfläche entfernt.

Siehe auch

• Orbit (Himmelsmechanik)
• Weltraumlift