Euklidische Distanz

Die '``Euklidische Distanz``' (ds) bezeichet in der speziellen Relativitätstheorie die Anwendung des Satzes der Pythagoras, um die raumzeitliche Distanz von Ereignissen nach dem kartesischen Raumkonzept zu messen und zu berechnen, der Euklidische Abstand dagegen ist ein räumlicher Abstand innerhalb des ' Euklidischen Raumes, also innerhalb der Gültigkeit der Gesetze der euklidischen Geometrie gelten. Dabei sind zwar beliebige Raumvektoren zugelassen jedoch nicht der Zeitvektor. Folglich ist aus dieser Sicht der Satz des Pythagoras nur ein Euklidischer zweidimensionaler Abstand auf einer Ebene und nicht eine Methode, raumzeitliche Distanzen zu messen. Also muß zwischen raumzeitlicher Euklidischer Distanz und Euklidischem Abstand unterschieden werden.

Wendet man nun den Satz des Pythagoras auf die drei Raumvektoren des kartesischen Raumes und berechnet die zeitliche Distanz zweier räumlicher Ereignisse erhält man durch den auch auf den Zeitvektor angewandten Satz des Pythagoras das der Relativitätstheorie zugrundegelegte Konzept des vierdimensionalen Raumes. Die Euklidische Distanz ist somit der vierdimensionale Abstand zwischen zwei spatiotemporalen Ergeignissen, wobei aufgrund der Konstante "c" für die Lichtgeschwindigkeit die Zeit t zur Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Raumvektoren wird. Die Berechnung der Distanz zweier raumzeitlicher Ereignisse erfolgt auf Grundlage des Satzes des Pythagoras also dadurch, daß a, b und c durch die kartesischen Raumkoordnianten x, y, und z ersetzt und als Raumvektoren aufgefaßt werden, deren Euklidische Distanz die Zeit t ist:

$t={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Die Grundlagen der Berechnung der Distanz von Ereignissen ist leicht verständlich beschrieben von Albert Einstein 1922 im Artikel "space-time" in der 12. Auflage der Encyclopædia Britannica:

Every event that happens in the world is determined by the space-co-ordinates x, y, z, and the time-co-ordinate t. Thus the physical description was four-dimensional right from the beginning. But this four-dimensional continuum seemed to resolve itself into the three-dimensional continuum of space and the one-dimensional continuum of time. This apparent resolution owed its origin to the illusion that the meaning of the concept "simultaneity" is self-evident, and this illusion arises from the fact that we receive news of near events almost instantaneously owing to the agency of light.... On the invariant ds a four-dimensional geometry may be built up which is in a large measure analogous to Euclidean geometry in three dimensions. In this way physics becomes a sort of statics in a four-dimensional continuum.... If we consider only elements which belong to the same time-value, we have

$-ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$.

These elements ds may have real counterparts in distances at rest and, as before, Euclidean geometry holds for these elements.[[1]]