Orthonormalität

Als orthonormal (genauer: zueinander orthonormal) werden in der Mathematik Vektor bezeichnet, die zueinander orthogonal (rechtwinklig) sind und alle die Norm (anschaulich: Länge) eins besitzen. Eine Basis eines Vektorraums aus orthonormalen Vektoren bildet eine sogenannte Orthonormalbasis; für je zwei Vektoren $v_{i},v_{j}$ daraus gilt stets $\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$ mit dem Kronecker-Delta $\delta _{ij}$.

Bei einer Matrix, die aus orthonormalen Vektoren besteht, ist die Inverse gleich der Transponierten: $A^{T}=A^{-1}$.

Beispiele

Die Standardbasis (kanonische Basis) des dreidimensionalen Raumes $\mathbb {R} ^{3}$ – das ist die Basis mit der Darstellung {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 , 1)} – ist orthonormal:

$\left\|e_{1}\right\|=\left\|e_{2}\right\|=\left\|e_{3}\right\|=1$	(jeder Vektor für sich ist normiert)
$\langle e_{1},e_{2}\rangle =\langle e_{1},e_{3}\rangle =\langle e_{2},e_{3}\rangle =0$	(alle Vektoren sind paarweise zueinander orthogonal)

In Funktionenräumen mit Skalarprodukt wie z. B. Hilberträumen werden auch Systeme orthonormaler Funktionen betrachtet.

• Siehe auch: Bra-Ket-Notation