Gradient (Mathematik)

Der Gradient ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektorrechnung eine Funktion eines Skalarfeldes, welche die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung in Form eines Vektorfeldes angibt. Der Gradient ist damit eine Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen von mehreren Variablen. Die folgenden beiden Absätze dienen der Veranschaulichung dieser komplexen mathematischen Zusammenhänge.

Interpretiert man die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion z(x, y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von z an einer Stelle (x, y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit ist.

Die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen Leiterbahn auf einem Mikrochip läßt sie sich durch ein Skalarfeld von unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient stellt den Wärmefluss dar. Der Wärmefluss ist somit ein Vektorfeld, welches proportional zum negativen Temperaturgradienten ist.

Gradient wird also ein Vektor genannt, der jedem Punkt eines Skalarfeldes zugeordnet werden kann. Er hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche auf der die Werte des Skalarfeldes konstant sind und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte des Skalarfeldes orientiert. Der Betrag des Gradienten stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in Normalenrichtung überein.

In den beiden folgenden Bildern stellen die Grauschattierungen das Skalarfeld dar, wobei schwarz den höchsten Funktionswert darstellt, und die Pfeile symbolisieren den zugehörigen Gradienten.

Zwei Skalarfelder mit den zugehörigen Gradienten

Gradient eines Skalarfeldes

Der Gradient eines Skalarfeldes $\varphi \left({\vec {r}}\right)$ ist definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen. Er existiert daher nur an den Stellen, an denen $\varphi$ bezüglich aller Koordinaten partiell differenzierbar ist. Er wird als $\nabla \varphi$ oder als $\operatorname {grad} \varphi$ geschrieben. Dabei ist $\nabla$ der Nabla-Operator und grad das Funktionssymbol des Gradienten. Für den Fall eines Skalarfeldes $\varphi (x,y,z)$ ist der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als

\operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}={\begin{pmatrix}\partial \varphi /\partial x\\\partial \varphi /\partial y\\\partial \varphi /\partial z\end{pmatrix}}

Allgemein gilt

\mathrm {grad} \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\nabla \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

Der Gradient kann je nach Verwendungszweck als Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden.

Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes

Der Vektor der partiellen Ableitungen kann auch für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist ${\vec {F}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine vektorwertige Funktion, dann seien F₁, ..., F_m ihre Komponentenfunktionen, das heißt

{\vec {F}}(x_{1},...,x_{n})=(F_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,F_{m}(x_{1},...,x_{n}))

.

Man definiert dann die Ableitung von ${\vec {F}}$ als (Spalten-)Vektor der (Zeilenvektor-)Gradienten der F_i. Der Vektorgradient des Feldes ist die Jakobi-Matrix.

{\mathcal {J}}_{\vec {F}}=\operatorname {grad} {\vec {F}}=\nabla {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

Für m=n ist das Ergebnis ein Tensor der 2. Stufe. Tensoren dieser Art spielen beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischer Spannung und Elastizität eine Rolle.

Hesse-Matrix

Mit dieser Verallgemeinerung definiert man die zweite Ableitung eines Skalarfeldes φ(x₁ .. x_n), seine Hesse-Matrix:

\operatorname {H} (\varphi )=\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &&&\vdots \\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

Rechenregeln

Rechenregeln (c: Konstante; u und v: Skalarfelder):

$\operatorname {grad} \,c={\vec {0}}$
$\operatorname {grad} \,(c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} \,u$
$\operatorname {grad} \,(u+v)=\operatorname {grad} \,u+\operatorname {grad} \,v$
$\operatorname {grad} \,(u\cdot v)=u\cdot \operatorname {grad} \,v+v\cdot \operatorname {grad} \,u$

Anwendung

Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes

d\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}dz=\operatorname {grad} \,\varphi \;d{\vec {r}}\qquad d{\vec {r}}={\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}

siehe auch: