Diskussion:Gradient (Mathematik)

Hinweis: Die Artikel Gradient eines Skalarfeldes, Divergenz eines Vektorfeldes und Rotation eines Vektorfeldes bilden eine strukturelle Einheit, die bei Änderungen möglichst gewahrt werden sollte. Wolfgangbeyer 09:36, 19. Feb 2004 (CET)

Ich fand den alten Artikel (18.02.04 23:25) einfach deutlich besser. Wäre nett, wenn sich mal andere in diese Diskussion einschalten würden. Insbesondere fehlt völlig der schöne Anfang inkl. des allgemeinverständlichen Beispiels und die anschaulichen Bilder oben. Diese 3 Passagen habe ich mal wieder hergestellt. Dadurch, dass Benutzer:Paddy entscheidende Passagen durch Teile aus dem ehemaligen Gradient ersetzt hat, ist nun die einheitliche Struktur der 3 Artikel dahin. Inhaltlich ist’s ja nicht falsch, aber die Wikipedia ist kein Lehrbuch, und wir müssen nicht alles hier hinschreiben, was uns als Fachleute darüber einfällt. Der alte Artikel war in diesem Sinne kurz und präzise und hat sich auf das Wesentliche konzentriert. Jetzt finde ich's überladen. Wozu z. B. der Hinweis auf die erforderliche Differenzierbarkeit? Das ist für jeden, der sich hierhin verirrt eine Selbstverständlichkeit. Auch das reichlich exotische Beispiel mit dem Sauerstoffgefälle im Körper zusätzlich zu der viel näherliegenden Höhenkarte, ist völlig überflüssig. Hab's entfernt. Auch sprachlich war die alte Version überlegen. Das einzige, worin ich einen gewissen Sinn sehe, wären vielleicht die Rechenregeln, die in dem alten Artikel nicht vorkamen. Aber dann sollte man das analog auch für die anderen beiden Artikel durchziehen. Wolfgangbeyer 09:36, 19. Feb 2004 (CET)

Gradient (Mathematik) ist super! Bin soweit auch mit der inhaltlichen Überarbeitung einverstanden. Das das nicht so anschauliche Beispiel rausgenommen wurde ist gut. Das jeder der sich hierher verirrt von der erforderlichen Differenzierbarkeit weiß, bestreite ich. Nennen sie mir drei Beispiel User!

Zu viel Inhalt oder überladen gibt es nicht. Es gibt nur keine, schlechte oder falsche Informationen. Zum gezielten Auffinden der Information hat man ja ein Inhaltsverzeichnis. Und oben auf der Seite sollte kurz erklärt sein um was es geht.

Die Rechenregeln müssen nicht dahin sind aber dennoch nützlich.--Paddy 13:46, 19. Feb 2004 (CET)

Die Betonung lag auf jeder, der sich hierher verirrt, und damit meinte ich nicht den Artikel selbst sondern eben diesen Satz. Jemand der nicht ableiten kann, kommt nicht bis zu diesem Satz, und allen anderen ist's klar. Wolfgangbeyer 15:59, 19. Feb 2004 (CET)

Ich finde allerdings, daß die Gliederung nocheinmal Diskutiert werden sollte. Wann ist denn die Wikipedia kein Lehrbuch (aber die Wikipedia ist kein Lehrbuch Wolfgangbeyer)? Aber wenn es um die Didaktische Gliederung geht dann ja? Von einer Enzyklopädie erwarte ich erst einmal eine Formale Definition, dann die Eigenschaften und vielleicht eine Verallgemeinerung. Optional halte ich für eine Enzyklopädie dann Beispiel, Darstellung, Rechenregeln und Anwendung, denn die stehen dann in Lehrbüchern! Oder habe ich da etwas nicht verstanden? --Paddy 13:46, 19. Feb 2004 (CET)

Für mich besteht der Unterschied zwischen einer Enzyklopädie und einem Lehrbuch u. a. darin, dass sich hierher auch jemand verirrt, der einen Begriff aufgeschnappt hat und nun schnell mit 3 Sätzen wissen will, worum es dabei geht. Das sollte in den ersten 3 Sätzen daher auch in didaktisch aufbereiteter Form stehen. Eine große Motivation für meine Aktivitäten hier sehe ich u. a. darin mitzuhelfen, den riesigen Graben zwischen Laien und Fachleuten ein wenig zuzuschütten. Und deshalb achte ich ganz besonders darauf, wie ein Artikel anfängt. Was ab Satz Nr. 20 steht, kann von mir aus gerne ausschließlich für den Fachmann verständlich sein. Wolfgangbeyer 15:59, 19. Feb 2004 (CET)

In welcher Enzyklopädie wird das so gemacht? --Paddy 16:02, 19. Feb 2004 (CET)

Wenn es tatsächlich keine geben sollte, dann plädiere ich energisch dafür, hier damit anzufangen. Sieht Du denn wirklich keinen Sinn darin? Noch nie über den Graben zwischen Laien und Fachleuten im Privatkreis gestolpert? ;-) Wolfgangbeyer 16:17, 19. Feb 2004 (CET)

Ich habe persönlich gar nichts dagegen! Ich fände das super, wenn es soetwas gibt. Und natürlich bin ich auch über den Graben gestolpert. Allerdings weiß ich nicht, wie sich das mit dem Anspruch einer Enzyklopädie vereinbaren läßt. Eine Enzyklopädie ist meines Erachtens in erster linie ein Nachschlagewerk. Und wenn ich etwas Nachschlage, dann weiß ich schon etwas darüber und will es mir nur in Erinnerung rufen. Deswegen war ich auch dafür das mit der Differenzierbarkeit drin zu lassen. Weil das könnte genau das sein was man vergessen hat. Meine Frage ist: "wie ist eine gewöhnliche Enzyklopädie aufgebaut?". Mir ist beim einfachen durchblättern folgendes aufgefallen

Bilder sind wenn es möglich ist meist am Schluß des Artikels.
Zuerst kommt eine vollständige Definition.
Je nach Länge des Artikels kommen dann noch Beispiele mit rein oder aber auch nicht.

Aber das Beispiel mit der Höhenkarte ist soetwas, was mir ein Lehrer oder Lehrbuch sagen würde, nach dem Motto "Da stellen wir uns mal ganz Dumm, und fragen was in eine Dampfmaschine?" (Aus der Feuerzangenbole). Aber soetwas habe ich in keiner Enzyklopädie bisher gefunden. Das heißt natürlich nicht, das es nich drinstehen darf! Alle Informationen sollten aufgenommen werden solange sie richtig und vollständig sind. --Paddy 16:56, 19. Feb 2004 (CET)

Naja, vielleicht schlage ich aber auch gerade deshalb nach, weil ich eben nichts darüber weiss, und ein Lehrbuch zuviel Einarbeitung kostet. Das wäre genau der Fall, den ich meine. Von einem Begriff was gehört zu haben, den ich nicht kenne. Das ist für mich persönlich der häufigste Grund für den Griff nach einer Enzyklopädie. Wenn ich eine Formel vergessen habe, greife ich eher zum Bronstein. Ich denke das kann man schon tendenziell unter einen Hut bringen. Es geht mir dabei ja nur um die ersten paar Sätze. Angesichts der Gesamtlänge des Artikels ist das keine allzu große Investition. Ganz soweit wie bei der Dampfmaschine würde ich auch nicht gehen wollen. Und ich hätte den Abschnitt mit den Höhenlininen auch weniger Feuerzangenbowlenartig/kumpelhaft formuliert. Aber im Prinzip finde ich es gut, wenn etwas inhaltlich etwas vergleichbar anschauliches dort steht. Vielleicht bastele ich das noch mal zurecht. Aber stellt Dir mal einen Laien vor, der als vorletzten Punk des Inhaltsverzeichnisses Beispiele liest und davor formale Definition, Rechenregeln, Verallgemeinerung usw. Der wird unter diesem Abschnitt eher Formelbeispiele befürchten, aber so weit unten keinen anschaulich verständlichen Text zum Thema mehr erwarten, und daher wenig Lust verspüren, sich das anzutun. Wenn er auf dem ersten Bildschirm oben reinen Text sieht, sieht das ganz anders aus. Wolfgangbeyer 17:50, 19. Feb 2004 (CET)

Verstehst Du überhaupt was ich sagen will? Es geht nicht darum was Du gerne hättest und was didaktisch sinnvoll ist. Es geht darum was eine Enzyklopädie ausmacht!

Das Beispiel bei Gradient über das Inhaltsverzeichnis zu setzten finde ich ein Unding. Etwas mit einem Beispiel zu erklären kann oft sinnvoll sein. Ein Pferd ist zum Beispiel wenn man darauf reitet kann man traben. Das ist richtig aber wichtiger ist davor zu sagen Säugetier, vier Beine, etc.. Das sollte auch in diesen Artikeln geschehen. Deshalb plediere ich die Gliederung umzustellen, bitte! Bitte!

Kurze Einleitung mit Definition und Erläuterungen
Formale Definition
Eigenschaften
Verallgemeinerung
Beispiel
Darstellung
Rechenregeln
Anwendung

--Paddy 19:39, 19. Feb 2004 (CET)

Übrigens Planck-Einheiten der gekürte Artikel hat kein Beispiel ganz oben. Es steht im gesamten Artikel nicht einmal das Wort Beispiel. --Paddy 19:46, 19. Feb 2004 (CET)

Diesen Kommentar habe ich erst jetzt entdeckt - Sorry. Fällt Dir ein Beispiel für die Planck-Länge ein ;-)? Aber Spaß beiseite, dort steht ja sogar ein noch weiter abseits angesiedeltes Beispiel, nämlich eins für das Versagen der Gesetze der Physik, ferner Vermutungen über Raum und Zeit, was zur Suche nach der Quantengravitation, der Grundgedanke zur Herleitung, was zur Interpretation, Physikersprüche usw. usw. Und dann erst die mathematische Definition. Als ich mal im Rahmen der Arbeiten am Text eine solche Passage nach weiter unten rückte, wurde ich explizit darauf hingewiesen, wie viel schöner das vorher gewesen sei (siehe Kommentar von Hafenbar 17:50, 12. Jan 2004 unter Diskussion:Planck-Einheiten der 3. Kommentar). Habe sie dann wieder nach oben geschoben. Offenbar denken viele so. Vielleicht war gerade diese möglicherweise nicht in jeder Enzyklopädie übliche Struktur der Grund dafür, dass dieser Artikel, der ja zu über 90% aus meiner Feder floss, zum "Exzellenten" gekürt wurde. Wolfgangbeyer 00:23, 21. Feb 2004 (CET)

Das Beispiel nur aufgrund der Tatsache entfernt wurde, das es die englische wiki so macht halte ich persönlich für bedenklich. Erst einmal sollte das auf der deutschen Seite einheitlich für Gradient, Divergenz und Rotation sein. Außerdem ist mehr Gliederung übersichtlicher. --Paddy 16:10, 19. Feb 2004 (CET)

Verstehe nicht, wen und was Du meinst. Meinst Du das exotische Beispiel mit dem Sauerstoffgefälle? Das war nicht meine Argumentation. Wolfgangbeyer 16:24, 19. Feb 2004 (CET)

Bitte in der Versionsgeschichte nachsehen, da hat jemand == Beispiel == aus der Gliederung rausgenommen! --Paddy 16:42, 19. Feb 2004 (CET)

Ich hatte es unten rausgenommen, das Sauerstoffgefälle gelöscht, und den Rest inkl. Überschrift == Beispiel == oben wieder eingefügt, wo es auch früher schon war. Jetzt steht's immer noch dort. Wolfgangbeyer 16:49, 19. Feb 2004 (CET)

So leid es mir tut meine ich Wolfgangbeyer garantiert nicht sondern Benutzer:Rrdd! Der hat == Beispiel == aus der Gliederung rausgenommen sprich gelöscht.

Verstehe Dich nicht. Es steht doch drin. Wolfgangbeyer 17:50, 19. Feb 2004 (CET)

Ich verweise nochmals auf CVS! Aber es betrifft Dich trotzdem nicht. --Paddy 18:27, 19. Feb 2004 (CET)

Jetzt hab ich's auch gesehen. Fand es aber ohne Überschrift ehrlich gesagt gar nicht so dumm. Aber na gut. Wolfgangbeyer 18:55, 19. Feb 2004 (CET)

Ich eig. auch:)--Rrdd 18:56, 19. Feb 2004 (CET)

Dann probiern wir das doch einfach mal aus. Sehe, das geht auch bei den anderen beiden Artikeln ganz prima. Wolfgangbeyer 19:04, 19. Feb 2004 (CET)

ich habs versucht Paddy hatte es schon revertiert.--Rrdd 19:06, 19. Feb 2004 (CET)

Was meinst Du mit revertiert? Steht nicht in der Wikipedia ;-). Beispiel ist jedenfalls weg und ich war's. Wolfgangbeyer 19:15, 19. Feb 2004 (CET)

Ich hba das gleiche gemacht wie du, und paddy hat die Änderung rückgängig gemacht.--Rrdd 19:17, 19. Feb 2004 (CET)~

Ach so verstehe, Du sprichst von früher. Wolfgangbeyer 19:57, 19. Feb 2004 (CET)

bitte siehe Anfang dieser Seite --Paddy 19:22, 19. Feb 2004 (CET)

Jetzt wird's mir zu eng ich rück mal wieder etwas nach links. Meinst Du ganz oben auf der Seite? Ich hab's schon bei allen 3 Artikeln gemacht. Oder meinst Du am Anfang diese Abschnitts? Ich würde mich da auch nicht an der Englischen Version orientieren wollen. Ich persönlich finde es einfach per se besser. Es vertieft die einführenden Worte des ersten Absatzes und gehört ganz eng an diesen angekoppelt. Beide zusammen bilden eine sinnvolle Einheit, die dem Leser einführend sagt, um was es geht. Dass das anhand eines Beispiels erfolgt, ist eigentlich fast sekundär. Die Funktion für den Leser ist das entscheidende. Und diesbezüglich stehen die beiden ersten Absätze gewissermaßen in selben Kapitel also vor den anderen und nicht durch eine Überschrift getrennt. Das halte ich jedenfalls für sehr sinnvoll und Rdd offenbar auch. Wolfgangbeyer 19:57, 19. Feb 2004 (CET)

Ist die Bezeichnung von grad als Differentialoperator korrekt? Ich würde es eher als Schreibweise bezeichnen, so wie man auch f(x) oder ein Integral einfach so schreibt und nicht automatisch und unbedingt als Operatorbeziehung interpretiert, obwohl das natürlich durchaus möglich ist und wenn's nützlich ist auch mal so gemacht wird. Gegen die Interpretation von grad als Operator spricht auch, dass grad gar kein eigenständiges Objekt ist, also auch nicht im Rahmen eines Operatorkalküls auftauchen kann, anders als ${\vec {\nabla }}$ , das Ausdrücke wie $\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}$ ohne Funktion dahinter zulässt. Wolfgangbeyer 18:17, 22. Feb 2004 (CET)

Ich denke, "grad" ist genauso so sehr (oder so wenig) ein eigenständiges Objekt wie

\nabla

und

\int

. Für mich ist es "der Keim eines Operators", ebenso wie das Integralzeichen; ein Symbol, das durch Angabe zusätzlicher Werte zu einem Operator gemacht wird. Insofern also noch kein kompletter Operator. Erst wenn man angibt, dass man die Menge S der Skalarfelder des R¹⁷ und die Menge V der Vektorfelder des R¹⁷ betrachtet, ist grad: S -> V ein Operator. Dasselbe gilt aber für

{\vec {\nabla }}

: Der wird erst durch die Angabe der Dimension komplettiert. --SirJective 12:15, 23. Feb 2004 (CET)

Die Frage ist weniger, ob grad ein Operator ist, sondern ob man ihn als solchen bezeichnet. Ob man z. B. sin in sin x als Operator bezeichnet, ist lediglich eine Frage der Vereinbarung. In diesem Fall tut man's nicht und das würde ich bei grad auch eher so sehen. Im Fall von rot kommt ja auch niemand auf die Idee, das als Teil eines formalen Vektors zu bezeichnen anders als bei

{\vec {\nabla }}

. Dass für Dich

{\vec {\nabla }}

erst zum Operator wird, wenn man sich auf die Zahl der Dimensionen festlegt, geht eher am Thema vorbei. Aber merkwürdig find ich's trotzdem. Wie würdest Du denn dann die Objekte z. B. in

\Delta ={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}

nennen, wo die Dimensionszahl ja auch noch nicht feststeht?

{\vec {\nabla }}

ist für mich ein Operator mit einer intrinsischen Variable, der Zahl der Dimensionen. Alles andere wäre so, als würde man

{\vec {F}}

erst dann als "realen" Kraftvektor ansehen, wenn er auch einen konkreten Zahlenwert angenommen hat. Würde vorschlagen, dass wir die Bezeichnung von grad als Operator erst mal weg lassen, solange wir uns nicht einig sind. Denke, niemand wird das überhaupt vermissen. Wolfgangbeyer 19:48, 23. Feb 2004 (CET)

Aber könnte man trotzdem eine Verlinkung zu Differentialoperator, wenigstens ein siehe auch: Verweis dort lassen? Es wäre von Vorteil das ganze Gebiet irgendwie untereinander zu verlinken. Wenigstens für die, die es wirklich wissen wollen. --Paddy 20:08, 23. Feb 2004 (CET)

Spricht nichts dagegen. Am besten vielleicht unten, oder? Wolfgangbeyer 20:21, 23. Feb 2004 (CET)

Wenn ich jetzt noch wüsste, was eine intrinsische Variable ist... Ohne Angabe dieses Parameters, der Dimension, ist

\nabla

mMn kein Operator, sondern ein "formaler Operator" oder was auch immer, und der Ausdruck

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}

ist ein formales Skalarprodukt, das für jede Dimension separat ausgewertet werden müsste, um den Laplaceoperator dieser Dimension zu ergeben;

\Delta

ist ebenso unvollständig ohne Angabe der Dimension der Felder, auf die er angewandt werden soll. Aber diese Unterscheidung ist nur meine persönliche Sichtweise, da ich nie in praxi damit gerechnet habe, und meine Vorstellung von anderen Bereichen übertrage. Analog ist der Ausdruck

{\vec {F}}

nur ein Vektorfeld, das jedem Punkt einen Kraftvektor zuordnet, aber wie gesagt: Wenn die übliche Schreib- und Sprechweise diesen Unterschied nicht macht, dann will ich den nicht einführen. --SirJective 17:43, 24. Feb 2004 (CET)

Wenn ich mich recht erinnere, gibt es Tensoren nur für n=m. Dann müsste man das dort anders hinschreiben. Wolfgangbeyer 20:30, 23. Feb 2004 (CET)

Genau genommen ist es ein Tensor 2. Stufe (also für n=2 hat der Tensor 9 (3^n) Komponenten). Und ja, n muß genau n sein für n größer gleich 0. --Paddy 21:01, 23. Feb 2004 (CET)

Der verallgemeinerte Gradient ist aber auch für m≠n definiert. --SirJective 17:33, 24. Feb 2004 (CET)

Die Vertauschung von R^n und R war nicht so glücklich: R^n -> R war ja als Eigenschaft von φ gemeint und nicht als die des Gradienten, und so stand es auch schon seit ewig dort. Und da es unmittelbar mit Doppelpunkt hinter φ steht, kann man das eigentlich kaum missverstehen. Und bei R^3 -> R bezieht es sich ganz unmissverständlich auf φ. So können wirs nicht lassen. Wir könnten es wieder so hinschreiben, wie es war, oder, wenn Benutzer:Paddy es tatsächlich beim ersten Vorkommen missverständlich empfindet, dort einfach φ( ${\vec {r}}$ ) schreiben und den ganzen R-Klimbim einfach weglassen. Ich würde ihn nicht unbedingt vermissen. Ebenso bei der Divergenz, obwohl dort am ehesten noch ein Sinn insofern darin bestand, zu sagen, dass ${\vec {F}}$ und ${\vec {r}}$ von gleicher Dimension sein müssen. Wolfgangbeyer 20:21, 23. Feb 2004 (CET)

Das ist in der Tat misverständlich. Ich habe den Pfeil als Abbildung verstanden in dem ein Skalarfeld auf ein Vektorfeld abgebildet wird. Genauso bei div. Ich würde es so vorschlagen:

{\vec {F}}\rightarrow \operatorname {div} \,{\vec {F}}\qquad \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}

analog bei grad. --Paddy 20:36, 23. Feb 2004 (CET)

Ich weiss nicht, ob hier immer alles so formal wie in einem Mathematikbuch stehen muss, und Dein Vorschlag würde es noch mehr in diese Richtung treiben. Ich würde es lieber in Worten sagen, und im Prinzip steht doch auch schon alles in Worten da. Wolfgangbeyer 21:09, 23. Feb 2004 (CET)

Natürlich soll es in erster linie in Worten geschrieben werden. Ich persönlich finde die Zusatzinformation in mathematischer Schreibweise nicht schlecht. Aber Du es als störend empfindest, dann können wir das auch rausnehmen. --Paddy 21:20, 23. Feb 2004 (CET)

Jetzt müsste nur noch jemand reinschreiben, was bei $\varphi ({\vec {r}})$ das ${\vec {r}}$ sein soll. In der allgemeinen Definition des Gradienten hab ich von $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ geschrieben. --SirJective 17:33, 24. Feb 2004 (CET)

Wieso wurde im totalen Differential $d\varphi$ rechts vom Gleichheitszeichen wieder durch $\partial \varphi$ ersetzt?? Ein isoliertes $\partial \varphi$ ist mir noch nie begegnet. Höchsten als $\partial _{x}\varphi$ für die partielle Ableitung. Da muss selbstverständlich das gleiche d hin wie das bei dx, dy, dz auf der rechten Seite. Konsequent aber noch merkwürdiger wäre höchsten $\partial$ überall. Gebe zu, dass ich das vor über 30 Jahren gelernt habe, aber es würde mich doch sehr wundern, wenn das heute anders gesehen würde als damals. Und deswegen hatte ich es kürzlich korrigiert (war versehentlich nicht angemeldet). Wolfgangbeyer 00:07, 24. Feb 2004 (CET)

Stimmt habe es in meinen Aufzeichnungen falsch aufgeschrieben. --Paddy 00:34, 24. Feb 2004 (CET)

Durch die neue Überschrift Vektorgradient ist der Abschnitt zur Hesse-Matrix plötzlich in ein falsches Kapitel geraten, denn die hat ja nichts mit dem Vektorgradienten am Hut. Und wenn ich mir die Gleichung anschaue (zu ersten mal so richtig), dann scheint da was nicht zu stimmen. Der 2. und 3. Ausdruck (von Paddy eingefügt) sind Skalare und rechts steht eine Matrix. Der 4. Ausdruck (steht schon länger da) ist zumindest missverständlich. Gab's da nicht so eine Vektorverknüpfung, deren Ergebnis eine Matrix aller Komponentenprodukte ist? So was war da wohl gemeint. Ist schon zu lange her. Keine Ahnung, wie man das unmissverständlich schreibt. Wolfgangbeyer 22:23, 23. Feb 2004 (CET)

Die Hesse-Matrix gehört für mich unter Optimierung oder nichtlinieare Optimierung und zwar zur Anwendung des Newton-Verfahrens. Nur weil da ein nabla drin ist ist da kein nabla drin. Und es gehört ganz gewiss nicht zu Gradient. --Paddy 23:42, 23. Feb 2004 (CET)

Naja, das sind aber ganz spezielle Anwendungen. Das sollte man schon allgemeiner sehen. Hier wurde es wohl hingeschrieben, weil der Gradient als verallgemeinerte erste Ableitung bezeichnet werden kann und die Hesse-Matrix als die zweite. Das ist nicht ganz aus der Luft gegriffen. Aber ich würde mich auch gegen Löschen nicht unbedingt querstellen. Ich frage mal SirJective, was er sich dabei gedacht hat. Wolfgangbeyer 00:07, 24. Feb 2004 (CET)

Ich sehe den Ausdruck $\Delta \varphi$ an der Stelle für falsch an, denn das ist doch der Laplaceoperator: Die Spur der Hesse-Matrix. Die Schreibweise $\nabla ^{2}\varphi$ mit Exponenten beim Operator ist zum einen eine Kurzform von $\nabla \nabla \varphi$ , leider aber auch eine andere Schreibweise des Laplaceoperators. Ich meine mit der Hesse-Matrix den Ausdruck $\nabla (\nabla \varphi )$ , wobei der äußere Gradient die verallgemeinerte Form für eine vektorwertige Funktion ist. Als Anwendung des verallgemeinerten Gradienten würde ich die Hesse-Matrix hier schon stehen lassen. Ob das jetzt ein Tensor ist oder "nur eine Matrix", kann ich nicht sagen, dazu kenn ich Tensoren zuwenig. Jedoch lässt sich der verallgemeinerte Gradient für jede komponentenweise partiell differenzierbare Funktion F von Rⁿ nach R^m definieren, auch für n≠m. --SirJective 17:33, 24. Feb 2004 (CET)

$\nabla (\nabla \varphi )=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi$ ! Ich glaube einer von uns bringt da etwas durcheinander. So wie es darstand unter Verallgemeinerung hiel ich es für die Definition von Vektorgradient. Bei der Hesse-Matrix handelt es sich aber um ein skalares Feld. Andernfalls hättest Du mit Deinem Einwand recht. Weiter oben frage ich sowiso, was Du mit der Hesse-Matrix erreichen möchtest. --Paddy 18:22, 24. Feb 2004 (CET)

Das Ergebnis eines Vektorgradienten ist definitiv ein Tensor 2. Stufe. Und dann muß m muß genau n sein. Das Ergebnis von der Hesse-Matrix ist ein skalar mit hilfe dessen man Extrem- und Sattelpunkte bestimmen kann. Ist da vielleicht beim verschieben etwas durcheinander gekommen? Ich hoffe nicht! --Paddy 18:53, 24. Feb 2004 (CET)

SirJectiv: Es ist schon klar, was Du mit

\nabla (\nabla \varphi )

meintest. Aber das muss sich doch auch irgendwie so schreiben lassen, dass keine Missverständnisse aufkommen, oder stehen wir hier vor einem dunklen Fleck der mathematischen Notation? Habe unter google nirgendwo diese Formel für die Hesse-Matrix gefunden. Alle schreiben sie komplett aus, wohl um dieses Problem zu umgehen. Sollten wir vielleicht auch machen. Das gleiche Missverständnis wird allerdings auch beim den Vektorgradienten

\nabla {\vec {F}}

provoziert. Paddy: Bei der Hesse-Matrix handelt es sich aber um ein skalares Feld. Es ist eine Matrix wie der Name schon sagt und kein Skalar. Das Ergebnis eines Vektorgradienten ist definitiv ein Tensor 2. Stufe. Und dann muß m muß genau n sein. Umgekehrt: Ist m=n, so ist der Vektorgradient ein Tensor. Das habe ich ja auch schon bemängelt an der Formulierung so wie sie jetzt da steht. Ferner: (A_ij) ist eine Matrix, aber was soll eigentlich (A_ij)_ij sein? Das steht da nämlich bei der Hesse-Matrix. Wolfgangbeyer 20:03, 24. Feb 2004 (CET)

Paddy: Bei der Hesse-Matrix handelt es sich aber um ein skalares Feld.

Das bezog ich darauf das

\varphi

ein Skalarfeld ist! Und deswegen

\nabla (\nabla \varphi )=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi

Wolfgangbeyer: Umgekehrt: Ist m=n

Schon klar!

Wolfgangbeyer:_ij

Keinen blassen Schimmer! Auch in keiner Literatur gefunden google eingeschlossen. --Paddy 20:25, 24. Feb 2004 (CET)

Jetzt sind hoffentlich alle Klarheiten beseitigt... Es ist

\nabla \cdot (\nabla \varphi )=\operatorname {div} \ \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi

aber nicht $\nabla (\nabla \varphi )$ . Und der verallgemeinerte Gradient $\nabla {\vec {F}}$ ist streng zu unterscheiden von der Divergenz $\nabla \cdot {\vec {F}}$ . --SirJective 11:07, 25. Feb 2004 (CET)

Meinst Du damit, dass immer der Punkt hingeschrieben werden muss, wenn Nabla als Divergenz verstanden werden soll, andernfalls ists der Vektorgradient? Das ist sicher nicht richtig. Der Bronstein wimmelt von Nablas ohne Punkt, die aber Divergenz bedeuten. Ganz gegessen ist die Sache für mich daher nicht. Oder wir nehmen es hin, dass die mathematische Notation hier einfach doppeldeutig ist. Wäre schon merkwürdig. Wolfgangbeyer 14:58, 25. Feb 2004 (CET)

Stimme Wolfgangbeyer voll zu. Was haltet ihr von

H=\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &&&\vdots \\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

Für mich ist immer noch nicht klar, was die Hesse-Matrix unter Gradient zu suchen hat!--Paddy 15:31, 25. Feb 2004 (CET)

Hoppla, danke für die Korrektur der Hesse-Matrix. Der Gradient ist so was wie die verallgemeinerte 1. Ableitung eines Skalarfeldes und die Hesse-Matrix so was wie die verallgemeinerte 2. Ableitung, wie ich ja schon oben mal sagte. Von daher ist eine Erwähnung durchaus ok, um größere Zusammenhänge aufzuzeigen. Wenn es einen Artikel Hesse-Matrix schon gäbe, könnte man es auch bei einem simplen Link ohne Formel belassen. Wolfgangbeyer 17:17, 25. Feb 2004 (CET)

Fraghe zu: Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes und Vektorgradient. Ich habe es nachgeschlagen und wiedersprüchliche Literatur dazu gefunden. Ist Vektorgradient:

Jakobi-Matrix mal Vektor ${\vec {a}}\cdot \operatorname {grad} {\vec {F}}$
$\operatorname {grad} {\vec {F}}$

Da muss ich passen. Habe dazu auch keine Literatur zur Hand. Wolfgangbeyer 17:17, 25. Feb 2004 (CET)