Stetige Funktion

Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist. Eine Funktion heißt stetig, wenn in ihren Funktionswerten keine Sprünge auftreten. Das Gegenteil von stetig ist unstetig.

Definitionen

Graphische Veranschaulichung einer unstetigen reellen Funktion

Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion $f:I\to \mathbb {R}$ auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ ist stetig, wenn der Graph der Funktion $f$ ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben.

Diese Aussage ist keine Definition, weil unklar ist, was unter in einem Zug zeichnen genau zu verstehen ist. Trotzdem entspricht sie ungefähr der Bedeutung der Stetigkeit und ist daher für die Anschauung sehr nützlich.

Die nachfolgenden Definitionen für die Stetigkeit sind mathematisch exakt.

Stetigkeit reeller Funktionen

Reelle Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass ihr Definitionsbereich $D$ und ihr Zielbereich Teilmengen der reellen Zahlen sind. Für solche Funktionen ist die Stetigkeit von $f$ in einem Punkt $x_{0}$ des Definitionsbereichs folgendermaßen definiert:

$f\colon D\to \mathbb {R} {\mbox{ stetig in }}x_{0}$

$\iff \forall \epsilon >0\colon \ \exists \delta >0\colon \ \forall x{\mbox{ mit }}|x-x_{0}|<\delta \colon \ |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$

($x,x_{0}$ sind in dieser Definition reelle Zahlen.)

Äquivalent dazu ist die folgende Definition:

$f\colon D\to \mathbb {R} {\mbox{ stetig in }}x_{0}\Longleftrightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Das heißt, damit eine Funktion $f$ an der Stelle $x_{0}$ stetig ist, müssen folgende drei Punkte erfüllt sein:

• Der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ muss existieren und ungleich $\pm \infty$ sein (d.h. der Grenzwert muss eine reelle Zahl sein)
• Der Funktionswert $f(x)$ muss bei $x=x_{0}$ definiert sein.
• Der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ muss gleich dem Funktionswert $f(x_{0})$ sein.

Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist, heißt (punktweise) stetig. So ist zum Beispiel die Signum-Funktion

$\operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}$

an jeder Stelle $a\in \mathbb {R} \setminus 0$ stetig, aber vermöge der Unstetigkeit an der Stelle $0$ nicht punktweise stetig. (Die Signum-Funktion hat an der Stelle $x_{0}=0$ den linksseitigen Grenzwert von -1 und den rechtsseitigen Grenzwert von 1 und somit existiert dort kein definierter Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$. Die erste Bedingung ist verletzt und daher ist die Funktion an der Stelle 0 unstetig.)

Beispiele

• Sind $f$ und $g$ stetig mit einem gemeinsamen Definitionsbereich, so sind auch $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$ stetig. Ist $g(x)\neq 0$ für alle $x$ im Definitionsbereich, dann ist auch $f/g$ stetig.
• Die Komposition zweier stetiger Funktionen $f\circ g$ ist ebenfalls stetig.

Im folgenden bezeichne $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine Funktion

• $f(x)=\sin(x)$ ist für alle $x$ aus $\mathbb {R}$ stetig.
• $f(x)=\cos(x)$ ist für alle $x$ aus $\mathbb {R}$ stetig.
• $f(x)=\cos(x)+\sin(x)$ ist für alle $x$ aus $\mathbb {R}$ stetig.
• $f(x)=e^{\cos(x)}$ ist für alle $x$ aus $\mathbb {R}$ stetig.

Im folgenden bezeichne $f:D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine Funktion von einer Teilmenge $D$ von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$.

• $f(x)=1/x$ ist für $x=0$ nicht definiert. In der Schulmathematik sagt man dann, $f$ wäre in der 0 unstetig, nach der exakten Definition ist der Begriff der Stetigkeit auf diese Stelle jedoch gar nicht anwendbar - $f$ ist also weder stetig noch unstetig in der 0. $f$ ist in seinem Definitionsbereich ($\mathbb {R} \setminus \{0\}$) stetig.
• $f(x)=\sin(x)/\cos(x)$ ist stetig in seinem Definitionsbereich, d.h. in allen $x$ aus $\mathbb {R}$, für die $\cos(x)$ ungleich 0 ist. Man bezeichnet $\sin(x)/\cos(x)$ auch als $\tan(x)$.

Im folgenden bezeichne $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine Funktion

• $f(z)=\exp(z)$ ist für alle $z$ aus $\mathbb {C}$ stetig

($\exp$ bezeichne die komplexe Exponentialfunktion, $\exp(z)=e^{z}$)

Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen

Ein Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist nur eine Beschreibung, mögliche exakte Definitionen sind folgende:

Epsilon-Delta-Kriterium

Seien $(X,d_{x})$, $(Y,d_{y})$ metrische Räume, dann heißt

$f:X\rightarrow Y{\mbox{ stetig in }}x_{0}:\Leftrightarrow \left(\forall \epsilon >0\,\exists \delta >0:\forall x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow d_{y}(f(x),f(x_{0}))<\epsilon \right)$

dabei bezeichnet $U_{\delta }(x_{0})$ die offene $\delta$-Umgebung um $x_{0}$, d.h.

$U_{\delta }(x_{0})=\{x\in X|d_{x}(x,x_{0})<\delta \}\quad .$

Folgenkriterium

Seien $(X,d_{x})$, $(Y,d_{y})$ metrische Räume, dann gilt:
$f:X\to Y$ ist stetig in $x_{0}\Leftrightarrow$ Für jede Folge $(x_{n})$ aus der Definitionsmenge von $f$, die gegen $x_{0}$ konvergiert, konvergiert $f(x_{n})$ gegen $f(x_{0})$.

Umgebungskriterium

Seien $(X,d_{x})$, $(Y,d_{y})$ metrische Räume, dann gilt:
$f:X\to Y$ ist stetig in $x_{0}\Leftrightarrow$ Zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_{0})$ gibt es eine Umgebung $U$ von $x_{0}$ , sodass für alle $x\in U\cap X$ gilt: $f(x)\in V$.

Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Hauptartikel: Stetigkeit (Topologie)

Alle bisherigen Definitionen sind Spezialisierungen der entsprechenden Definition von Stetigkeit in der Topologie. Dort ist eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.

Spezialfälle von Stetigkeit

Spezialfälle der Stetigkeit sind z.B. gleichmäßige Stetigkeit und (lokale) Lipschitz-Stetigkeit. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass ihre jeweiligen Definitionen die Menge der infrage kommenden Funktionen noch weiter einschränken. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z.B. in Eindeutigkeitssätzen (z.b. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme.
Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Zusammenhang

Es gelten folgende Zusammenhänge:
$f$ Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ lokal Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig
und
$f$ Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ gleichmäßig stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig.

Beispiele

Einige Gegenbeispiele sollen demonstrieren, dass die Rückrichtungen in aller Regel nicht gelten:
$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ ist lokal Lipschitz-stetig, aber weder Lipschitz-stetig noch gleichmäßig stetig.

$f:[-1,1]\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto {\sqrt[{3}]{x}}$ ist stetig, aber nicht lokal Lipschitz-stetig.

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

Verkettung stetiger Funktionen

Jede stetige Funktion von einer stetigen Funktion ist wieder stetig.

Stetigkeit der Umkehrfunktion

Sind $I$ ein Intervall in $\mathbb {R}$ und $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige, streng monoton wachsende Funktion, dann ist das Bild von $f$ ein Intervall $J$, $f\colon I\to J$ ist bijektiv, und die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon J\to I$ ist stetig. Somit ist $f$ ein Homöomorphismus von $I$ nach $J$.

Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten Intervall stetig sind. Ist $f$ eine umkehrbare und an der Stelle $x_{0}$ stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an der Stelle $f^{-1}(x_{0})$ im Allgemeinen nicht stetig. Als Gegenbeispiel sei $f$ definiert durch:

• auf $(2k,2k+1)$ sei $f(x)=x-k$ ($k$ durchläuft die positiven ganzen Zahlen)
• auf $(2k-1,2k)$ sei $f(x)=1/x$
• auf $\left({\frac {1}{k+1}},{\frac {1}{k}}\right)$ sei $f(x)={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+k}}$
• $f(0)=0$, $f(k)=k$, $f(1/k)=1/k$
• $f(x)=-f(-x)$ für $x<0$.

Dann ist $f$ bijektiv und in 0 stetig, aber $f^{-1}$ ist in 0 unstetig.

Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen

Sei $f$ eine reellwertige Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich $D(f)$ stetig ist, $D(f)$ sei eine Teilmenge der reellen Zahlen, $x_{0}$ sei aus dem Definitionsbereich von $f$,

dann gilt für jede Folge reeller Zahlen $x_{n}$ aus $D(f)$ die gegen $x_{0}$ konvergiert, dass die Folge der Funktionswerte $f(x_{n})$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.

Anmerkung: Dieser Satz gilt auch für stetige Abbildungen zwischen beliebigen metrischen Räumen.

Satz von Bolzano

Nimmt die auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion $f(x)$ an zwei Stellen $a$ und $b$ dieses Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichem Vorzeichen an, so gibt es zwischen $a$ und $b$ mindestens eine Stelle $c$, an der die Funktion $f(x)$ verschwindet (d.h. $f(c)=0$ also eine Nullstelle der Funktion).

Der Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine auf dem Intervall $[a,b]$ (mit $a<b$) stetige Funktion jeden Funktionswert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal annimmt.

Als Definition:

Ist $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $a<b$ und $f(a)<f(b)$, dann existiert für alle $d\in [f(a),f(b)]$ ein $x\in [a,b]$, so dass $f(x)=d$.

Analog für $f(a)>f(b)$ und $d\in [f(b),f(a)]$.

Eine äquivalente Formulierung ist: Das Bild einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist wieder ein Intervall. (Das Bild eines offenen oder halboffenen Intervalles kann aber durchaus ein abgeschlossenes Intervall sein.)

Satz von Weierstraß

Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall ihre obere und ihre untere Grenze an.

Anders ausgedrückt:

$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig $\Rightarrow \exists t,h\in [a,b]\ \forall x\in [a,b]:f(t)\leq f(x)\leq f(h)$

(Der Satz von Weierstraß benötigt weniger Voraussetzungen für die Suche nach Hoch- und Tiefpunkten (siehe Extremwert) einer Funktion als die differenzielle Suche.)