Mengenlehre

Vorlage:Mathematische Symbole

Die Mengenlehre ist die mathematische Theorie, die sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Sie ist die Grundlage der modernen Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Stochastik oder Topologie.

Geschichte

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).

Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition der Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt. Die einzige Grundrelation ist $\in$ (gesprochen Element von), z.B. x $\in$ M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", manchmal auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Neue Mathematik

In den 70er Jahren wurde die Mengenlehre unter dem Namen Neue Mathematik im Unterricht der Grundschulen eingeführt. Ziel war es, neben der Vermittlung von Rechenfertigkeiten auch Denkfähigkeit und Abstraktionsvermögen der Kinder zu fördern. Die wissenschaftlich formalisierte Mengenlehre entsprach jedoch nicht dem pädagogischen Anspruch, kindgerecht zu sein. So beschränkte sich die Mengenlehre an den Schulen damit, Mengendiagramme zu zeichnen bzw. bunte Plastikplättchen zu legen. Die neue Mathematik scheiterte letztendlich daran, dass sie keine Verbindung zur traditionellen Mathematik herstellen konnte. Zudem waren sowohl Lehrer als auch Eltern damit vollkommen überfordert.

Definitionen und Gesetzmäßigkeiten

Seien ${A},{B}\in {\mathcal {P}}\left(\mathbb {X} \right)$ beliebige Teilmengen von $\mathbb {X}$

1. Teilmenge (auch Inklusion): ${B}\subseteq {A}:=\{x\in {\mathbb {X} }|{x}\in B\Rightarrow {x\in A}\}$ (B ist Teilmenge von A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist, d.h. B ist enthalten in oder gleich A. Üblich ist auch die Schreibweise ${B}\subset {A}$
2. Echte Teilmenge:${B}\subset {A}$ (B ist echte Teilmenge von A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist und die Menge B enthalten in und ungleich A ist. Bsp.:$\mathbb {N} ^{+}\subset \mathbb {N} \subset \mathbb {G} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$
   Um Missverständnisse, die durch gelegentliche unterschiedliche Definitionen des Begriffs Teilmenge entstehen, sicher auszuschließen, ist auch die Schreibweise ${B}\subsetneq {A}$ gebräuchlich.
3. Schnittmenge: ${A}\cap {B}:=\{x\in \mathbb {X} |x\in {A}\land x\in {B}\}$ (A geschnitten mit B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
4. Vereinigungsmenge: ${A}\cup {B}:=\{x\in \mathbb {X} {|}x\in {A}\lor x\in {B}\}$ (A vereinigt mit B) ist die Menge der Elemente, die in A oder in B oder beiden Mengen liegen.
5. Komplement von $A$ in $\mathbb {X}$: $\complement {A}:=\{x\in \mathbb {X} |x\not \in A\}$
6. Differenzmenge: ${A}\backslash {B}$ (A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B.
7. symmetrische Differenz: ${A}\,{\Delta }\,{B}:=\left\{\left({A}\backslash {B}\right)\cup \left({B}\backslash {A}\right)\right\}$
8. Leere Menge: Die leere Menge enthält kein Element und wird mit $\emptyset$ oder auch $\{\}$ bezeichnet.
9. Potenzmenge: Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}\left({A}\right)$ ist die Menge aller Teilmengen von ${A}$.

Die Mengen-Operationen Schnitt $\cap$ und Vereinigung $\cup$ sind zueinander kommutativ, assoziativ als auch distributiv. Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra.

Siehe auch: Universum (Mathematik)

Weblink

• Mathe Online