Elementare Sprache

Eine Elementare Sprache $L^{S}$ (auch: Sprache erster Stufe mit der Symbolmenge S) ist eine im Rahmen der Prädikatenlogik 1. Stufe definierte formale Sprache. Mit diesen Sprachen lassen sich mathematische Theorien formallogisch behandeln; so z.B. die Gruppentheorie, die Mengenlehre usw. Die Erfahrung zeigt sogar, dass sich alle mathematischen Aussagen in einer geeigneten Sprache erster Stufe formalisieren lassen, und dass sich alle beweisbaren Aussagen innerhalb einer Sprache erster Stufe mit Hilfe des Sequenzenkalküls ableiten lassen.

Das Alphabet einer Sprache erster Stufe

Definition: Das Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst folgende Zeichen:

(a) $v_{0},v_{1},...\$ (Variablen)

(b) $\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ (nicht, und, oder, wenn - so, genau dann wenn)

(c) $\forall ,\exists$ (für alle, es gibt)

(d) $\equiv$ (Gleichheitszeichen)

(e) ),( (Klammersymbole)

(f)

(1) für jedes $n\geq 1$ eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen Relationssymbolen $R_{n}$;

(2) für jedes $n\geq 1$ eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen Funktionssymbolen $f_{n}$;

(3) eine (eventuell leere) Menge von Konstanten $c_{n}$.

Die Menge der Zeichen unter (a) bis (e) sind die logischen Zeichen; sie sind für alle Spreachen erster Ordnung dieselben; sie werden mit A bezeichnet.

Die Menge der Zeichen unter (f) bezeichnet man als Symbolmenge (auch Signatur) $S=\{R_{1},R_{2},\ldots ,,f_{1},f_{2},\ldots ,c_{1},c_{2},\ldots \}$; durch sie wird die spezielle Sprache erster Stufe bestimmt.

Hinweis: In Alphabet (Mathematik) sind bei sonst identischer Definition die Konstanten aus (f)(3) nicht aufgeführt; dafür sind in (f)(1) nullstellige Relationen erlaubt (n=0), die den Konstanten aus der obigen Definition entsprechen.

Beispiel: Gruppentheorie

Um den Begriff der Gruppe und die definierenden Axiome zu formalisieren, geht man wie folgt vor:

1. Die Variablen $x,y,z,...$ stehen für Elemente der Gruppe; ausserdem gibt es eine Konstante e.
2. Es wird ein Symbol $\circ$ eingeführt; dieses steht für die zweistellige Verknüpfung zweier Elemente
3. Assoziativgesetz: $\forall x\forall y\forall z(x\circ y)\circ z\equiv x\circ (y\circ z)$
4. Neutrales Element: $\forall x(x\circ e\equiv x)$
5. Inverse Elemente: $\forall x\exists y(x\circ y\equiv e)$ .

In diesem Fall gibt es also ein zweistelliges Relationssymbol $\circ$ sowie eine einzige Konstante e.

Weitere Beispiele

Relationssymbole	Funktionssymbole	Konstanten	Name
$\leq$ (zweistellig)	+, · (beide zweistellig)	0,1	Geordnete Körper
	$\circ$ (zweistellig)	e	Gruppen
	+,$\cdot$ (beide zweistellig)	0,1	Ringe
$\sim$ (zweistellig)			Äquivalenzrelation

Terme

Die Definition der Terme $T^{S}$ einer Elementaren Sprache erfolgt rekursiv. Ein Term der elementaren Sprache wird durch endlich viele Anwendungen der folgenden Regeln erhalten

1. Konstantensymbole sind Terme.
2. Variablensymbole sind Terme.
3. Wenn $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol und $t_{1},...,t_{n}$ Terme sind, dann ist auch $f(t_{1},...,t_{n})$ ein Term.

Symbolmenge S	Beispiel für Terme aus $T^{S}$
$(0,1,+,\cdot ,<)\$	$0,1,0+1,(0+v_{1})\cdot ((v_{0}+1)+(v_{2}+1))\$,
$(0,+)\$	$0+v_{0}\$
$(1,S)\$	$1,S(1),S(S(1)),...\$

Formeln

Die Formeln der Sprache $L^{S}$ werden durch endlich viele Anwendungen der folgenden Regeln erhalten

Atomformeln

1. Wenn $t_{1}$ und $t_{2}$ Terme, dann ist $t_{1}=t_{2}$ Formel
2. Wenn $R$ ein n-stelliges Relationssymbol und $t_{1},...,t_{n}$ Terme, dann ist $R(t_{1},...,t_{n})$ eine Formel.

Aussagenlogische Verknüpfungen

1. Wenn $\psi$ eine Formel ist, dann auch $\neg \psi$.
2. Wenn $\psi$ und $\theta$ Formeln sind, dann auch
   • $\psi \wedge \theta$
   • $\psi \vee \theta$
   • $\psi \rightarrow \theta$
   • $\psi \leftrightarrow \theta$

Quantoren

Wenn $\psi$ eine Formel ist, dann auch

1. $\exists x\psi$
2. $\forall x\psi$

Die elementare Sprache $L^{S}$ zur Symbolmenge (Signatur) S besteht nun aus allen nach den obigen Regeln gebildeten Formeln.

Quellen

• H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich; BI-Wiss. Verlag, 1992, ISBN 3-411-15603-1
• Hans-Peter Tuschik, Helmut Wolter: Mathematische Logik - kurzgefasst. Grundlagen, Modelltheorie, Entscheidbarkeit, Mengenlehre. Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich; BI-Wiss. Verlag, 1994, ISBN 3-411-16731-9